Recouvrement de la boule unité fermée
Bonjour
Lors de la démonstration du théorème de Riez (dans les compacts) mon professeur a utilisé dans la preuve que l $ \{ {\rm B}(x, \frac{1}{2} )\mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ est un recouvrement d'ouverts de $ \overline{\rm B} (0,1). $ J'aurais voulu le montrer mais je n'y arrive pas.
J'ai pu montrer que $ \overline{\rm B} (0,1) \subset \{ \cup {\rm B}(x, \frac{1}{2} ) \mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ mais je n'arrive pas à montrer l'inclusion inverse.
Soit $ y \in \{ \cup {\rm B}(x, \frac{1}{2} ) \mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ donc $ \exists x \in \overline{\rm B} (0,1) $ tel [que] $y \in {\rm B}(0 \frac {1}{2} ) $ mais je n'arrive à montrer que $ y \in \overline{\rm B} (0,1) $.
Si quelqu'un pouvait m'aider ou me donner des indications .
Cordialement.
Lors de la démonstration du théorème de Riez (dans les compacts) mon professeur a utilisé dans la preuve que l $ \{ {\rm B}(x, \frac{1}{2} )\mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ est un recouvrement d'ouverts de $ \overline{\rm B} (0,1). $ J'aurais voulu le montrer mais je n'y arrive pas.
J'ai pu montrer que $ \overline{\rm B} (0,1) \subset \{ \cup {\rm B}(x, \frac{1}{2} ) \mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ mais je n'arrive pas à montrer l'inclusion inverse.
Soit $ y \in \{ \cup {\rm B}(x, \frac{1}{2} ) \mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ donc $ \exists x \in \overline{\rm B} (0,1) $ tel [que] $y \in {\rm B}(0 \frac {1}{2} ) $ mais je n'arrive à montrer que $ y \in \overline{\rm B} (0,1) $.
Si quelqu'un pouvait m'aider ou me donner des indications .
Cordialement.
Réponses
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Bonjour.
S'agit-il bien de "un recouvrement d'ouverts " ou de "un recouvrement ouvert", c'est à dire d'un ensemble d'ouverts de l'espace qui recouvre la boule ? Et donc, par intersection avec la boule, ça donne un recouvrement d'ouverts de de la topologie induite.
Cordialement. -
il s'agit d'un recouvrement ouvert.
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Donc ton recouvrement n'est pas inclus dans la boule. La seule chose nécessaire est que tous les points de la boule soient dans au moins un des ensembles du recouvrement.
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J'ai voulu montrer que $ \{ B(x, \frac {1}{2}) \mid x \in \overline{B} (0,1) \} \subset \overline{B} (0,1)$. Ensuite j'ai dit soit $y \in \{ B(x, \frac {1}{2} \mid x \in \overline{B} (0,1) \} $ donc $ \exists x \in \overline{B} (0,1) ,\ y \in B(x, \frac {1}{2} )$. Mais à partir de là je n'arrive pas à avancer.
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD] -
Est-ce que ton égalité a l'air vrai sur un dessin ?
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Par exemple pour x sur la frontière de la boule ...(:P)
Ne perds pas de temps à des démonstrations inutiles, surtout de choses fausses. -
Donc $ \{ B(x,\frac{1}{2} ); x \in \overline{ B} \left( 0,1 \right ) \} $ n'est pas un recouvrement ouvert $\overline{ B} \left( 0,1 \right )$ c'est ce que tu veux dire ?
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Comment veux-tu que la boule fermée unité puisse s'écrire comme une réunion d'ouverts ?
Pour rappel, une réunion d'ouverts est un ouvert.
Tu devrais relire la définition de "recouvrement" au sens où tu l'utilises. -
je faisais fausse route, je viens de m'en rendre compte.
Merci pour l'aide -
En fait, dans la topologie induite, la boule unité fermée est une réunion d'ouverts, elle est même ouverte. Mais un recouvrement d'ouverts, pour la topologie induite, de la boule unité fermée est la trace d'un recouvrement de la boule unité fermée par des ouverts de l'espace. Donc on n'a pas besoin de compliquer en passant à la topologie induite, ni d'imposer que les ouverts soient inclus dans la boule unité fermée.
On passe à la topologie induite en prenant les $ {\rm B}(x, \frac{1}{2} ) \cap \overline{\rm B} (0,1)$ et à ce moment là, ce que tu voulais montrer Mohamed1354, devient évident. mais ça complique inutilement.
Cordialement. -
Bien vu, merci pour la précision !
J'ai peut-être été un peu trop péremptoire dans mon message précédent. -
Oh, ce sont des notions qui n'admettent pas les raccourcis d'expression. On s'est tous planté là dessus avant de prendre l'habitude de faire très attention.
Cordialement.
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