Semi-norme ou norme
Bonjour s'il vous plaît une question.
Pourquoi $\left\Vert . \right\Vert_{\infty}$ n'est qu'une semi-norme sur $\mathcal{F}\left(\left[a,b\right],E\right)$ (l'ensemble des fonctions de $\left[a,b\right]$ dans $E$) est non pas une norme alors qu'on peut montrer que $\left\Vert f \right\Vert_{\infty}=0 \Rightarrow f=0$ ??
Pourquoi $\left\Vert . \right\Vert_{\infty}$ n'est qu'une semi-norme sur $\mathcal{F}\left(\left[a,b\right],E\right)$ (l'ensemble des fonctions de $\left[a,b\right]$ dans $E$) est non pas une norme alors qu'on peut montrer que $\left\Vert f \right\Vert_{\infty}=0 \Rightarrow f=0$ ??
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Réponses
Ce point dont vous avez parlé n'entre pas dans la troisième condition. c'est le cas des fonctions non bornée et vous avez raison le sup dans ce cas est l'infini.
Mais la fonction que vous avez proposé sa norme infini n'est pas égale à 0 pour dire qu'elle doit être nulle
$\| - \|_\infty$ est une norme sur l'espace des fonctions bornées de $[a,b]$ dans un evn $(E,\| - \|)$.