Semi-norme ou norme

mido404 · October 2021

Bonjour s'il vous plaît une question.
Pourquoi $\left\Vert . \right\Vert_{\infty}$ n'est qu'une semi-norme sur $\mathcal{F}\left(\left[a,b\right],E\right)$ (l'ensemble des fonctions de $\left[a,b\right]$ dans $E$) est non pas une norme alors qu'on peut montrer que $\left\Vert f \right\Vert_{\infty}=0 \Rightarrow f=0$ ??

JLapin · October 2021

Comment est définie $\| f\|_{\infty}$ si $f(a)=1$ et $f(x)=\frac{1}{x-a}$ pour $x\in ]a,b]$ ?

john_john · October 2021

Ce n'est même pas un seizième-de-norme puisque cette application n'est pas définie pour tout élément de $\mathcal{F}\left(\left[a,b\right],E\right)$.

mido404 · October 2021

mais le troisième point de séparation il est vérifié (la troisième condition d'une norme est vérifiée).
Ce point dont vous avez parlé n'entre pas dans la troisième condition. c'est le cas des fonctions non bornée et vous avez raison le sup dans ce cas est l'infini.
Mais la fonction que vous avez proposé sa norme infini n'est pas égale à 0 pour dire qu'elle doit être nulle

mido404 · October 2021

Donc le troisième point est vérifié il y a problème seulement avec les fonctions non bornées ou elle n'est pas définie.??

JLapin · October 2021

Pour ne pas tourner autour du pot :
$\| - \|_\infty$ est une norme sur l'espace des fonctions bornées de $[a,b]$ dans un evn $(E,\| - \|)$.

Semi-norme ou norme

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