Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
Parallélogramme et transversale
dans Géométrie
Bonjour,
Dans un parallélogramme $ABCD$, on mène par $A$ une sécante qui coupe $BC$ en $E$ et $DC$ en $F$ ; quelle que soit la direction de la sécante, $BE.DF$ garde la même valeur.
A+
Dans un parallélogramme $ABCD$, on mène par $A$ une sécante qui coupe $BC$ en $E$ et $DC$ en $F$ ; quelle que soit la direction de la sécante, $BE.DF$ garde la même valeur.
A+
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Réponses
Et le dessin ?
Cordialement,
Rescassol
Voici la figure réclamée par Rescassol.
Je dois faire maintenant moi même les figures des autres de l'enfer.
Je m'entraîne!
C'est évidemment une trivialité (?) pour les sectateurs de l'Axiome de Thalès, i.e: la moitié du cours de géométrie.
Par nostalgie envers la géométrie projective, on peut dire que l'application $E\mapsto F\ $ est une projectivité de la droite $BC\ $ sur la droite $CD$ de points limites $B\ $ et $D$ dans laquelle le point $C\ $ se correspond à lui même.
Un étudiant d'autrefois sachant son cours de géométrie projective pouvait écrire directement:
$$\overline{BE}.\overline{DF}=\overline{BC}.\overline{DC}\qquad$$
Il y a mieux!
Cette projectivité se prolonge en une transformation circulaire directe $f\ $ du plan circulaire!
Quels en sont les points fixes et les points limites?
Tracer si possible avec sa règle ébréchée et son compas rouillé l'image $M'=f(M)$ d'un point quelconque $M\ $ du plan.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Comme tu dis, Pappus, c'est trivial, puisque même moi, j'ai réussi sans peine aucune à retrouver l'égalité que tu as indiquée ! Il suffit, en effet, de connaître "l'Axiome de Thalès" et les propriétés de tout bon parallélogramme, et ensuite de savoir faire joujou avec les proportions :
(Thalès) BE/EC = AB/CF, (parallélogramme) AB = DC, d'où BE/EC = DC/CF, (échange des moyens dans cette proportion) BE/DC = EC/CF, (addition des numérateurs et des dénominateurs) BE/DC = (BE+EC)/(DC+CF) = BC/DF, (égalité des produits des extrêmes et des moyens) BE.DF = BC.DC.
Je dois quand même reconnaître que c'est plus facile quand on sait au départ où aller et quelle direction prendre ...
Pour ce qui est de l'application E ---> F, peut-on dire que le point C en est "l'élément neutre" ?
Quant à la transformation circulaire directe f, je ne saurais en dire grand-chose, et c'est à peine si j'oserais m'aventurer à dire qu'il me semblerait raisonnable de penser que les points A et C en sont les points fixes ...
Bien cordialement, JLB
Dans l'égalité que j'ai donnée, il y a des mesures algébriques sur lesquelles on pourrait d'ailleurs disserter un bon moment.
Bien sûr il faut appliquer l'axiome de Thalès mais pas n'importe comment!
Le mieux est encore de proposer une rédaction!
Vais-je devoir m'y coller comme d'habitude?
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'ai bien vu que tu avais utilisé des mesures algébriques, et j'en ai bien tenu compte dans mon ébauche de rédaction, car j'ai bien fait attention à écrire les segments comme si c'était des vecteurs, toujours dans le sens "de l'origine vers l'arrivée", une fois ce sens défini : par exemple, j'ai bien écrit "AB = DC" et non pas "AB = CD" ...
Je reprends donc ma rédaction, en la développant, et en me basant sur la figure que tu as donnée :
Les droites parallèles AB et DCF, les droites sécantes AEF et BEC, et le théorème de Thalès permettent d'écrire l'égalité des rapports de mesures algébriques BE/EC = AB/CF.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, donc AB = DC (toujours en mesure algébrique).
On peut donc écrire BE/EC = DC/CF, d'où l'on obtient, en échangeant les termes moyens, BE/DC = EC/CF, puis, en additionnant les numérateurs et les dénominateurs, BE/DC = (BE+EC)/(DC+CF) = BC/DF, d'où l'on tire BE.DF = DC.BC.
Bien cordialement, JLB
Et on continue à apprendre en le faisant (et en regardant comment les autres écrivent (bouton "citer", ou clic droit sur la formule/show maths as/TeX command) .
Cordialement.
Bien cordialement, JLB
1. G le point tel que ADFG soit un parallélogramme
2. en considérant les parallélogramme complémentaires, le résultat est immédiat.
Sincèrement
Jean-Louis
Merci Jean-Louis pour ta solution, même si je ne sais toujours pas à mon âge canonique ce que sont des parallélogrammes complémentaires.
Voici ma propre solution où j'applique de façon obstinée trois fois de suite l'Axiome de Thalès comme le bon petit sectateur que je suis devenu:
$$\dfrac{\overline{BE}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{GA}}{\overline{GD}}=\dfrac{\overline{GB}}{\overline{GF}}=\dfrac{\overline{DC}}{\overline{DF}}\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Comme en géométrie euclidienne où on fait la chasse aux angles (orientés), on fait aussi la chasse aux rapports (de section) en géométrie affine et si la chasse est bien faite, on a pas le choix pour aller d'un rapport au suivant!!
Pour retourner le fer dans la plaie, quelle est l'enveloppe de la droite $GE?\qquad$
Et cent fois dans son sein, le fer a repassé!
je suis toujours enthousiaste de t'entendre...
Pour mon plaisir, je te renvoie à mon livre
Ayme J.-L., Méthodes et Techniques en Géométrie, A propos de la Droite de Newton, Ellipses, Paris, 2003, p. 17-18.
Ici tout va bien avec peu de Covid 19...
Sincères amitiés
Jean-Louis
Il y a longtemps que je le possède et je l'ai cité maintes fois sur notre forum!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Comment passer maintenant sur cette simple configuration de la géométrie affine à la géométrie circulaire?
On peut vraiment dire que c'est d'une triste facilité!
Bonjour Tristesse!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Soit $f$ la transformation circulaire de points limites $B$ et $D$ qui fixe $C$.
L'autre point fixe est $A$.
Soit $E\in BC$ et $F$ le point défini par Piteux_gore au début du fil.
Pour tout point $M\neq B$, la similitude directe $BM\mapsto DC$ envoie $C$ sur $M'=f(M)$ donc $f(E)\in CD$.
De même, l'homothétie $BE\mapsto DA$ envoie $A$ sur $f(E)$ donc $f(E)\in AE$.
Donc $f(E)=F$, ce qui signifie que $f$ prolonge la projectivité (perspective ?) de pappus.
Alors l'enveloppe de la droite $GE$ est l'ellipse de diamètres conjugués $IJ$ et $CD$.
Ue preuve de ta dernière affirmation?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Ainsi, les droites $(GE)$ enveloppent une conique $\cal C$ tangente à $BC$ et $AD$.
De plus, $p_B\circ p_A(B)=A$ et $p_B\circ p_A(B')=A'$ donc $\cal C$ est inscrite dans le parallélogramme $ABB'A'$.
La théorie des diamètres conjugués permet de conclure.
Tu es devenu un champion de la défunte géométrie projective.
En vieux français ta formule:
$$G=p_B\circ p_A(E)\qquad$$
signifie que les points $E\ $ et $G\ $ décrivent des divisions homographiques sur leurs droites respectives.
Et d'après les théorèmes généraux la droite $GE\ $ enveloppe une conique que tu as brillamment identifiée.
Petite colle:
Quel est l'axe d'homographie de la correspondance $G\leftrightarrow E?\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Amicalement
[small]p[/small]appus
D'une minuscule configuration affine, tu nous as pondu une homographie du plan circulaire et surtout une homographie entre droites projectives pour dégoter cette ellipse-enveloppe sans aucun calcul !
Bref, un bon petit exo d'oral d'agreg hein ;-)
$p_A$ est une homographie entre deux droites donc, par conservation du birapport, il vient :$$(E,C,B,\infty_{BC})=(F,C,\infty_{DC},D)=(C,F,D,\infty_{DC}).$$D'où l'égalité de rapports de section :$$\frac{\overline{BE}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{DF}}.$$
Un exo d’oral d’agreg?
Tu veux rire!
Alors que tout ce qu’ils connaissent en géométrie sont les axiomes de Thalès et de Pythagore!
Amicalement
[small]p[/small]appus
[La liste des leçons de l'oral d'algèbre et géométrie] pour montrer que tu exagères un peu ;-)
Bon seules les leçons 161, 171, 181 et 191 obligent le candidat à mettre les pieds dans le plat de la géométrie.
Mais j'ai dénombré 22 leçons où le sujet a beaucoup d'applications géométriques.
J'ai sous les yeux trente cinq leçons dont trois seulement font directement référence à la géométrie.
Le reste sont des leçons d'algèbre comprenant de temps en temps le mot un peu vague d'applications!
Les leçons épineuses sur les angles ont disparu.
C'est pour le moins éloquent!
Les axiomes de Thalès et de Pythagore?
C'est effectivement tout ce qu'un bachelier sait en géométrie quand il arrive à l'université!
Comment veux-tu alors qu'un agrégatif donne des applications géométriques même dans une leçon d'algèbre, c'est impossible!
Amicalement
[small]p[/small]appus