Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont)
Propriété méconnue des nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour,
Le carré d'un nombre premier supérieur à $3$ diminué de $1$ donne un multiple de $24$ :
$5^2 - 1 = 24, 7^2 - 1 = 48, 11^2 - 1 = 120, ...$
A+
Le carré d'un nombre premier supérieur à $3$ diminué de $1$ donne un multiple de $24$ :
$5^2 - 1 = 24, 7^2 - 1 = 48, 11^2 - 1 = 120, ...$
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Réponses
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C'est une propriété des nombres impairs non multiples de $3$.
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Bonjour,
Un nombre premier plus grand que $3$ doit être égal, modulo $4$, à $1$ ou à $3$ puisque les autres possibilités $0$ et $2$ sont exclues car multiples de $2.$
Cas $p=4 k+1$ :
$p^2-1=(p-1)(p+1)=4 k (4 k+2)=8 k(2k+1)$
Si $k=3 u$, on a la divisibilité par $24,$
Si $k=3 u+1$, et donc $2k+1=3(2u+1)$…
Le cas $k=3u+2$ est exclus. En effet, $p=4(3 u+2)+1=12 u+9=3(4 u+3)$ n’est pas premier.
Cas $p=4 k+3$ :
$p^2-1=(4k+3)^2-1=(4k+2)(4 k+4)=8 (k+1) (2 k+1).$
Si $k=3 u$, $p=4(3 u)+3=3(4 u+1)$ n’est pas premier.
Si $k=3 u+1$, $2 k+1=3(2 u+1)$ est divisible par $3$.
Si $k=3 u+2$, $k+1=3(u+1)$ est divisible par $3.$
Comme on a traité tous les cas, on conclut pour tous les premiers strictement plus grand que $3.$ -
C’est un exercice que je donne souvent en colle.
-
RE
Ma solution personnelle
Les nombres considérés sont de la forme $6k \pm 1$.
$(6k \pm 1)^2 - 1 = 12k(3k \pm 1)$
$12k(3k \pm 1)$ est un multiple de $24$ pour tout $k$ pair ou impair.
A+Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont) -
Salut,
Soit x=n2+1
3 divise x pour tout n non multiple de 3
4 divise x pour tout n non multiple de 2
Cordialement
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Bonjour!
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