Hic bene futuna est. (Wallis)
Propriété méconnue des nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour,
Le carré d'un nombre premier supérieur à $3$ diminué de $1$ donne un multiple de $24$ :
$5^2 - 1 = 24, 7^2 - 1 = 48, 11^2 - 1 = 120, ...$
A+
Le carré d'un nombre premier supérieur à $3$ diminué de $1$ donne un multiple de $24$ :
$5^2 - 1 = 24, 7^2 - 1 = 48, 11^2 - 1 = 120, ...$
A+
Réponses
-
C'est une propriété des nombres impairs non multiples de $3$.
-
Bonjour,
Un nombre premier plus grand que $3$ doit être égal, modulo $4$, à $1$ ou à $3$ puisque les autres possibilités $0$ et $2$ sont exclues car multiples de $2.$
Cas $p=4 k+1$ :
$p^2-1=(p-1)(p+1)=4 k (4 k+2)=8 k(2k+1)$
Si $k=3 u$, on a la divisibilité par $24,$
Si $k=3 u+1$, et donc $2k+1=3(2u+1)$…
Le cas $k=3u+2$ est exclus. En effet, $p=4(3 u+2)+1=12 u+9=3(4 u+3)$ n’est pas premier.
Cas $p=4 k+3$ :
$p^2-1=(4k+3)^2-1=(4k+2)(4 k+4)=8 (k+1) (2 k+1).$
Si $k=3 u$, $p=4(3 u)+3=3(4 u+1)$ n’est pas premier.
Si $k=3 u+1$, $2 k+1=3(2 u+1)$ est divisible par $3$.
Si $k=3 u+2$, $k+1=3(u+1)$ est divisible par $3.$
Comme on a traité tous les cas, on conclut pour tous les premiers strictement plus grand que $3.$ -
C’est un exercice que je donne souvent en colle.
-
RE
Ma solution personnelle
Les nombres considérés sont de la forme $6k \pm 1$.
$(6k \pm 1)^2 - 1 = 12k(3k \pm 1)$
$12k(3k \pm 1)$ est un multiple de $24$ pour tout $k$ pair ou impair.
A+Hic bene futuna est. (Wallis) -
Salut,
Soit x=n2+1
3 divise x pour tout n non multiple de 3
4 divise x pour tout n non multiple de 2
Cordialement
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres