@Foys : bonjour. Existe-t-il un livre théorique reprenant, en l'approfondissant ce que tu écris sur la relativité restreinte ou pas ? Je te remercie par avance.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Hum, pour l'instant, je n'en suis pas à démontrer le caractère affine en supposant (en apparence) moins ; je voulais voir ça dans un second temps.
En fait, pour préciser un peu la démarche et pour faire une analogie que j'espère ne pas être trop déformée, j'essaie de démontrer que tous les corps ordonnés archimédiens complets sont isomorphes (et je bloque sur une étape) et j'ai l'impression que ta réponse est "ben regarde le corps des coupures de Dedekind".
Je pars d'axiomes du style : on se donne un ensemble de droites affines d'un espace affine $V$ de dimension $4$, certains s'appellent "objets matériels", d'autres "photons", un ensemble de bijections affines $V$ vers $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}$ (des "référentiels"), on suppose :
- que tous la vitesse des photons ne dépend pas du référentiel ;
- que pour tout référentiel $R$, et tout vecteur $v \in \mathbb{R}^3$ de norme euclidienne plus petite que la vitesse de la lumière, il y a un "objet matériel" dont le vecteur vitesse vu par $R$ est $v$ ;
- qu'il est possible d'attacher à tout objet matériel un référentiel qui le voit immobile ;
- des hypothèses d'isotropie que je ne suis pas encore sûr de savoir formaliser.
Dès lors, je cherche à montrer que pour tout couple de référentiels tel que l'un voit l'origine de l'autre se déplacer le long d'un vecteur $v$, alors nécessairement la norme de $v$ (mesurée par l'un quelconque des référentiels) est plus petite que la vitesse de la lumière et que la matrice de la partie linéaire du changement de référentiel est de la forme qu'on trouve dans les livres de physique.
Le problème que j'ai, c'est qu'il n'est pas clair pour moi que ces hypothèses suffisent pour conclure que les longueurs dans les directions orthogonales à $v$ sont conservées.
Pour info j'ai vu sur Youtube le cours d'Étienne Parizot sur la relativité restreinte (je crois que c'est omega qui en avait parlé une fois). À part le fait qu'il fait pas mal de blabla, j'ai trouvé le cours assez rigoureux.
Il pose les postulats de départ comme l'homogénéité de l'espace, l'uniformité du temps (bon il est un peu brouillon) et tout s'en déduit naturellement.
Une chose intéressante est qu'il ne suppose pas que la vitesse de la lumière est invariante par changement de référentiel pour en déduire la transformation de Lorentz. En fait via les postulats de départ on en déduit qu'il existe une vitesse invariante par changement de référentiel et il se trouve que les photons vont à cette vitesse (car pas matériels).
Bref voici le lien au cas où
Par contre il fait vraiment énormément de blabla. Pour arriver à la transformation de Lorentz il faut suivre 5 heures de cours environ.
@Foys : bonjour. Existe-t-il un livre théorique reprenant, en l'approfondissant ce que tu écris sur la relativité restreinte ou pas ? Je te remercie par avance.
C'est une idée qui vient peu ou prou du livre de Landau-Lifschitz: Théorie des champs. Mais je ne suis plus trop sûr de son contenu.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Bon, je trouve le blabla d'Etienne Parizot est super pénible. C'est vraiment bizarre : pour démontrer qu'une fonction dont la différentielle est constante est affine, il la différentie encore une fois !
Cela dit, je crois que je comprends un peu son argument pour répondre à ma question. Je vais y réfléchir un peu... Ca se passe à cet instant-ci de la vidéo 5.
@Georges Abitbol: il y a des articles qui démontrent géométriquement l'invariance de la vitesse de la lumière à partir de quasi-rien, sur ce forum. Il me semble que Christophe en avait posté un. Il faudrait les retrouver.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Oui, il y avait un texte de Denis Gialis, on peut y accéder en cliquant ici. Mais je n'y comprends rien (que comprendre à un texte ou aucune variable n'est quantifiée ?) et puis il ne répondait pas à ma question (cf. page 3, "blablablabla-inopérant $y=y'$ et $z=z'$").
Bon, je trouve le blabla d'Etienne Parizot est super pénible.
Je ne vais pas te contredire, j'ai dû me faire violence pour me coltiner les 13 vidéos du cours, mais je ne regrette pas. J'y vois plus clair maintenant.
De toute façon toute cette histoire avec la transformée de Lorentz ne sert qu'à se rendre compte que finalement l'objet principal n'est pas la transformée de Lorentz mais l'espace temps vu comme espace affine de dimension 4 avec la pseudo-métrique idoine.
Non mais le pire c'est quand même que je m'y perds un peu entre "ce qui est déduit" et "ce qu'on peut supposer sans perte de généralité". Je ne comprends pas pourquoi il nous prive d'un énoncé clair ?
En plus, je crois qu'il dit une bêtise : si une application affine envoie tout plan sur un plan parallèle, alors elle envoie toute droite sur une droite parallèle, donc sa partie linéaire envoie tout vecteur sur un vecteur qui lui est colinéaire, et d'après l'exercice classique, c'est une homothétie. Or, lui, il fait une déduction de la forme "cette application doit envoyer un plan sur un plan parallèle ("sinon, y'aurait un angle, et si y'a un angle, pourquoi comme ci plutôt que comme ça ?" (sic)) et donc tels coefficients sont nuls" qui revient à peu près à déduire "si c'est une homothétie, alors ce n'est pas une homothétie"...
La chaine Youtube "Les idées froides" est un bijou de pédagogie sur la relativité .....
L'auteur traite également très sérieusement) de beaucoup de sujets, dont celui-ci : la terre est elle plate ?
Le sujets traités tournent autour de la physique, mais il a aussi abordé une question mathématique : l'hypersphère (qu'il réussit à représenter, avec des astuces géniales (et beaucoup de travail ...) !)
Je me permets d'intervenir ici car ma question est inspirée, dans son esprit, par le principe de la relativité.
J'aimerais donc savoir si dans le fichier joint, la condition que je requiers, à savoir $\epsilon_{g(\varphi),s}=\epsilon_{\varphi,s}$ pour tout $(g,\varphi,s)$, est ou non équivalente à l'axiome du choix. Si oui fait-ce de RH un indécidable de ZF ?
@Sylvain : Je ne comprends pas trop le lien avec la relativité... A part ça, ta "condition", je comprends pas trop. Est-ce que ça veut donc dire que tu décides de ne t'intéresser après qu'aux aneaux dont le groupe d'automorphismes est d'ordre au plus deux (comme quand, dans un livre d'algèbre, il est écrit "à partir de maintenant, tous les corps considérés seront commutatifs"). Si oui, ce n'est pas un truc logique, c'est une définition. Si, par contre, tu voulais dire "je m'intéresse à l'assertion <<pour tout anneau, son groupe d'automorphismes est d'ordre au plus $2$>>" alors c'est une assertion qui est équivalente à l'axiome du choix, ou ne l'est pas, mais je n'en ai aucune idée. D'ailleurs, elle est également équivalente à $0=0$ ou équivalente à $0=1$, je ne sais pas non plus. Enfin, elle est équivalente à $RH$ ou équivalente à $\neg RH$. Je ne sais toujours pas.
@raoul : Oui, je crois qu'il ne me reste pas grand chose pour avoir un énoncé formel ; par contre, je ne suis pas vraiment sûr que ce soit une traduction fidèle de ce que Parizot raconte.
L'idée est de faire le lien avec un changement de coordonnées sous lequel la réalité physique ou mathématique est la même, en voyant l'ensemble des changements de coordonnées possibles comme un groupe d'automorphismes du phénomène étudié. Le principe de relativité c'est que la réalité est la même dans tous les référentiels même si chaque observateur a un point de vue propre, d'où la formulation tensorielle de la relativité générale.
Peut-être (et encore ! cette histoire du groupe d'automorphisme du groupe d'automorphismes des aneaux de fonctions $L$... Est-ce qu'une philosophie de la philosophie des sciences nous apprendrait grand chose sur la science ? Ben pour moi, c'est un peu pareil du groupe des automorphismes du groupe des automorphismes) mais le problème c'est qu'on ne comprend pas si tu dis l'analogue de "tous les corps sont commutatifs" ou "je ne m'intéresse qu'aux corps commutatifs".
Je pense, sans toutefois être un expert, que si le principe de relativité sous quelque forme que ce soit était effectivement démontrablement faux, on s'en serait aperçu. Rien que les innombrables tests toujours plus poussés de la relativité générale, encore jamais prise en défaut quelque 105 ans après, tendent à le valider.
Attends... tu pars d'un énoncé physico-philosophique portant sur l'espace-temps, et tu en tires (par la force de ton imagination) un énoncé portant sur la structure des aneaux... On peut dire qu'il y a une inspiration, mais pas d'implication logique ! Puisque c'est l'hypothèse de Riemann qui te botte, il me semble bien qu'il y a des conjectures "analogues" à RH (du style "voici une fonction $\zeta$-bidule qui est l'analogue dans tel cadre algébrico-géométrique-chepaquoi et on se demande si elle n'a de zéros que je-sais-pas-où") qui sont fausses. Et alors ? Ca n'implique rien pour RH. Ben, là, pareil !
En tout cas, le lien avec le fil me semble très ténu.
@raoul : Ca t'intéresse, si je tire un énoncé bien propre ? J'ai presque fini, mais j'aimerais bien voir si ma traduction est fidèle.
Bon, histoire de ne pas laisser tomber (il faut que je mette des trucs au propre) je crois qu'une partie de l'énoncé peut se formaliser de la manière suivante. Je précise que je crois que j'ai fait des erreurs de calcul (notamment parce que le corollaire a l'air faux). Mais l'idée est là, je crois qu'il suffit de chasser les erreurs de calcul !
On pose $E := \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}$.
Soit $A \in GL(E)$. S'il existe $v \in \mathbb{R}^3$ de norme $1$, $\alpha,\gamma \in \mathbb{R}^*$ tels que $A \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
\gamma^{-1}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\alpha v\\
1\\
\end{pmatrix}$, on dit que $A$ est "glissante". Si $A$ est glissante, les $v,\alpha,\gamma$ sont plus ou moins uniquement définis.
Si $A$ est glissante de vecteur $v$, on dit qu'elle vérifie le premier axiome d'isotropie si $A$ commute à toutes les matrices de la forme $\begin{pmatrix}R&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\\end{pmatrix}$ dans une base de la forme $(v_1,v_2,v,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\\end{pmatrix})$ où $(v_1,v_2,v)$ est une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$.
Si $A$ est glissante de vecteur $v$, on dit qu'elle vérifie le deuxième axiome d'isotropie si $SAS = A^{-1}$ où $S$ est la matrice $\begin{pmatrix}1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&1\\
\end{pmatrix}$ dans une base de la forme $(v_1,v_2,v,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\\end{pmatrix})$ où $(v_1,v_2,v)$ est une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$.
Théorème : Soit $G$ un sous-groupe de $GL(E)$. On suppose que pour tout $v \in \mathbb{R}^3$ de norme $1$, en notant $Gliss(G,v)$ le sous-ensemble des trucs qui sont soit l'identité, soit des applications glissantes de vecteur $v$ vérifiant les deux axiomes d'isotropie, eh bien, on suppose que $Gliss(G,v)$ est un sous-groupe.
Alors, pour tout $v \in \mathbb{R}^3$ de norme $1$, il existe un (unique) réel $k$ tel que pour toute base de la forme $(v_1,v_2,v,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\\end{pmatrix})$ où $(v_1,v_2,v)$ est une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$, pour tout $A \in Gliss(G,v)$, la matrice de $A$ dans cette base est $\begin{pmatrix}R&0&0\\
0&\pm \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha^2k}}&-(\pm)\frac{\alpha}{\sqrt{1 - \alpha^2k}}\\
0&-(\pm)\frac{\alpha k}{\sqrt{1-\alpha^2k}}&\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \alpha^2k}}\\
\end{pmatrix}$ (c'est plutôt la transposée de ça, que je trouve sur Wikipédia, je me suis peut-être trompé... en fait, pas de problème, la transposée vient de la dualité vecteurs-coordonnées) où $R$ est une matrice de rotation et où les signes peuvent être supposés $+$ sous des hypothèses topologiques sur $G$.
De plus, si on suppose que l'unique $k$ ne dépend pas de $v$, et qu'on suppose encore quelque chose de physiquement pertinent (mais quoi ? voir plus bas), on peut déterminer son signe (en fait voir que $k$ ne peut être que positif ou nul), et on pose alors $c := \frac{1}{\sqrt{\vert k \vert}}$ et on peut démontrer que ce $c$ est la vitesse limite que peuvent atteindre les choses ($\vert \alpha \vert < c$) ; en outre, si $k$ est nul, ça fait des matrices du groupe de Galilée, et si $k$ est non nul, ça fait des matrices du groupe de Lorentz (quitte à normaliser $k$).
Corollaire : Soit $G$ un groupe comme dans le théorème précédent et supposons qu'on n'est pas dans le cas de Galilée. Alors il existe un réel positif $c$ tel que $G$ préserve la forme $(x,y,z,t) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2$.
Fait amusant : la composition de deux transformations non triviales de la forme précédente, mais avec des $k$ différents, ne vérifie pas le deuxième axiome d'isotropie, et, ce qui est équivalent, ne commutent pas.
Georges Abitbol ok j'ai lu mais j'avoue ne plus être trop dans le bain. Je pense que les différences avec Wikipedia peuvent venir du fait qu'ils choisissent le temps comme première coordonnée tandis que pour toi c'est la dernière.
Si j'ai bien compris, tes matrices glissantes correspondent, compte tenu des contraintes d'isotropie, aux boosts de Lorentz composés avec des rotations statiques (cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Lorentz ).
Quoi qu'il en soit, ce que je retiens de ces vidéos est, comme déjà dit, que l'objet principal n'est pas la transformée de Lorentz mais l'espace temps vu comme espace affine de dimension 4 avec la pseudo-métrique idoine.
Si j'ai bien compris, tes matrices glissantes correspondent, compte tenu des contraintes d'isotropie, aux boosts de Lorentz composés avec des rotations statiques
Oui, une matrice glissante qui vérifie des trucs est forcément un boost composé avec une rotation statique (dans le plan orthogonale à la direction de glisse, bien sûr), "pour une certaine vitesse de la lumière". Et l'hypothèse pour dire "la vitesse de la lumière est constante", c'est "pour tout couple de matrices glissantes qui vérifie des trucs, alors leur composée vérifie aussi ces trucs".
Quoi qu'il en soit, ce que je retiens de ces vidéos est, comme déjà dit, que l'objet principal n'est pas la transformée de Lorentz mais l'espace temps vu comme espace affine de dimension 4 avec la pseudo-métrique idoine.
Oui mais justement : là, la démarche, c'est soit $G$ un groupe (dit de "changements de référentiel") qui vérifie des hypothèses ; alors $G$ est l'ensemble des changements de carte d'un atlas d'une variété (qui est en fait un espace affine :-D) préservant une forme quadratique particulière. C'est comme si toi tu disais : "le truc important, c'est cet exemple concret" alors que la vidéo <<démontre>> "en fait, cet exemple est le seul qui arrive".
Si un jour tu re-regardes ces vidéos, je voudrais bien que tu me dises si les hypothèses d'isotropie qu'il fait se formalisent de la façon dont je l'ai fait. Mais bon, je comprendrais que tu n'aies pas envie de les revoir (j'en ai re-regardé un bout où il justifie la différentiabilité du changement de référentiel par le fait qu'un changement de référentiel doit, physiquement, être continu...).
Mais bon, je comprendrais que tu n'aies pas envie de les revoir
C'est beau l'empathie... :-D
J'ai quand même fait un petit effort et si je ne me trompe pas ce passage de ton texte :
Si $A$ est glissante de vecteur $v$, on dit qu'elle vérifie le deuxième axiome d'isotropie si $SAS = A^{-1}$ où $S$ est la matrice $\begin{pmatrix}1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&1\\
\end{pmatrix}$
est la formalisation de ces passages des vidéos et qu'il nomme "Renversement des axes" et "Transformation inverse". Si oui alors c'est une "preuve" que tu as bien formalisé car je trouve pareil.
Pour ta formalisation du premier axiome d'isotropie je n'ai pas trouvé dans les vidéos mais eu la flemme de chercher plus.
Pour le premier axiome, ben, il dit en gros "on peut choisir les axes comme on veut (tant qu'on en prend un dans la direction de glisse), ça ne doit pas changer le changement de référentiel" et "ce qui se passe orthogonalement à la direction de glisse ne doit pas dépendre de la direction (tant qu'elle est orthogonale", et "blablabla". C'est pour ça que j'ai traduit en "commuter à toutes les rotations spatiales d'axe la direction de glisse".
Pour mon problème de transposée, en fait je crois que ce que j'ai est correct, et que c'est juste que j'ai choisi de travailler avec des vecteurs, et lui avec des coordonnées, et ça dualise le truc. Enfin, je crois, c'était un de mes cauchemars d'étudiant :-D
Je remercie les intervenants qui m'ont permis de regarder la video d'Etienne Parizot (sa leçon N°1). C'est prodigieux ce qu'il arrive à dire de profond sur l'espace et le temps, en ne faisant appel à aucune connaissance spécialisée. J'ai beaucoup aimé sa remarque sur le fait qu'en physique, obtenir la valeur d'une grandeur qui se promène dans un ensemble non dénombrable suppose le choix d'une unité (c'est évident, mais cela ne m'avait jamais traversé l'esprit).
Mais du coup, si les grandeurs physiques d'espace, de temps, de masse se révèlent être dénombrables, puisque "granulaires", cela voudra dire qu'on pourra faire l'économie de la notion d'unité (avec ce qu'elle a d'arbitraire) ? Je ne vois pas bien non plus ce que devient la dérivabilité , etc .....
Si raoul (ou n'importe quelle personne intéressée par la discussion) passe par là et a regardé la vidéo de Parizot, j'ai remarqué un truc intéressant.
En reprenant les notations ci-dessus, Parizot conclut que le réel $k$ tel que pour toute matrice $A$ glissant le long d'un vecteur $v \in \mathbb{R}^3$ de norme $1$, alors le bloc en bas à gauche de la matrice de $A$ dans les bonnes bases décrites plus haut est $\begin{pmatrix} \gamma&-\alpha\gamma\\
-k\alpha\gamma&\gamma\\
\end{pmatrix}$ ne peut être négatif.
Son argument est le suivant : on ne considère que des $A$ glissant le long d'un vecteur $v$ fixé. Si tous les choix ont été faits, $\alpha$ est uniquement défini et on peut le noter $\alpha(A)$ ($\gamma$ aussi est uniquement défini mais peu importe) ; en outre, on pose $\alpha(id) = 0$. Le calcul démontre que pour tout couple $(A,A')$, $\alpha(A\circ A') = \frac{\alpha(A)+\alpha(A')}{1+k\alpha(A)\alpha(A')}$. Parizot dit alors que si $k$ est négatif, ça peut poser des problèmes ($A$ et $A'$ pourraient avoir leur $\alpha$ positif alors que le $\alpha$ de leur produit pourrait être négatif, ce qui va à l'encontre de l'intuition sur le caractère ordonné des glissades - si on va à droite, puis à droite, on va toujours à droite).
Pourtant, il n'en résulte pas moins quelque chose de mathématiquement cohérent : supposons que $k$ est négatif et non nul. Posons $c := \frac{1}{\sqrt{-k}}$. Si on choisit de considérer $\arctan$ comme partant de $\mathbb{R}\cup \{\infty\}$ et prenant ses valeurs dans,$\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z}$, posons $\phi : A \mapsto \arctan\left(\frac{\alpha(A)}{c}\right)$. Alors $\phi$ est un morphisme : en effet, soient $A,A'$. Notons $\alpha$ et $\alpha'$ les images de $A$ et $A'$ par $\alpha$, et soient $\psi,\psi'$ des éléments de $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ tels que $\alpha = c\tan \psi$ et $\alpha' = c\tan \psi'$. Alors $\phi(A\circ A') = \arctan \left(\frac{1}{c}\alpha(A\circ A')\right) = \arctan \left(\frac{1}{c}\frac{\alpha+\alpha'}{1+k\alpha\alpha'}\right) = \arctan \left(\frac{1}{c}\frac{c\left(\tan\psi + \tan\psi'\right)}{1+kc^2\tan\psi\tan\psi'}\right) = \arctan \left(\frac{\tan\psi + \tan\psi'}{1-\tan\psi\tan\psi'}\right)$. Or $\arctan \left(\frac{\tan\psi + \tan\psi'}{1-\tan\psi\tan\psi'}\right) = \arctan \left(\tan (\psi+\psi')\right) = \psi+\psi' = \phi(A) + \phi(A')$ (où le $+$ de $\psi+\psi'$ se comprend comme la loi de composition de $\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z}$).
Ainsi, $\phi$ plonge $Gliss(G,v)$ dans $\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z}$. Et alors ? Ca donne une géométrie un peu bizarre, mais bon, est-ce si grave ? J'en conclus donc que quand Parizot "déduit" $k\geq 0$, il veut simplement dire "le cas $k<0$ donne une géométrie exotique et on suppose dorénavant que $k\geq 0$. Qu'en pensez-vous ?
EDIT : Noter que Gialis, en bas de la page 6 de ce document, considère ce cas (c'est le "2)"). Je ne suis pas trop convaincu.
J'en conclus donc que quand Parizot "déduit" $k\geq 0$, il veut simplement dire "le cas $k<0$ donne une géométrie exotique et on suppose dorénavant que $k\geq 0$.
Mathématiquement ça tient la route mais physiquement il n'y aurait pas des problèmes ? Par exemple avec la formule des compositions des vitesses : $v_3=\dfrac{v_1+v_2}{1+kv_1v_2}$. Si $k<0$ $v_3$ pourrait être infinie dès que $v_1v_2=-1/k$... une limite sur le produit ça pose des problèmes physiquement insurmontables je crois.
Remarque concernant ton morphisme $\phi$, avec $k>0$ on a aussi un morphisme je crois en prenant l'arctangente hyperbolique plutôt. Pas vérifié mais si c'est un morphisme il va de $Gliss(G,v)$ dans $\mathbb{R}/2\mathbb{Z}$.
Non non avec arctangente hyperbolique ça va dans les réels, et c’est assez curieux : certes, les vitesses ne s’ajoutent pas par l’addition, mais par une loi qui lui est isomorphe, et la vitesse de la lumière correspond alors à l’infini.
Pour le cas $k<0$, le cas d’une « vitesse infinie » correspond (limite où $\alpha$ tend vers l’infini et $\gamma$ vers $0$) à une rotation d’un quart de tour dans le plan engendré par l’axe de glisse et... le temps !
Dans un certains sens le cas $k<0$ est plus "naturel" car la métrique (cette fois c'en est bien une) provient du produit scalaire standard sur $\R^4$. L'intervalle d'espace temps serait $c^2\Delta t^2+\Delta l^2$ et le jumeau qui reste sur terre est plus jeune que celui qui est parti...
Oui ! Apparemment il y a un monsieur qui s'appelle Greg Egan et qui a étudié la physique d'un tel espace-temps et qui a écrit des romans qui s'y déroulent : voir ici !
Egan est aussi l'auteur de travaux sur les superpermutations, il est en fait titulaire d'une licence de maths et collabore à l'occasion avec des mathématiciens professionnels.
Réponses
En fait, pour préciser un peu la démarche et pour faire une analogie que j'espère ne pas être trop déformée, j'essaie de démontrer que tous les corps ordonnés archimédiens complets sont isomorphes (et je bloque sur une étape) et j'ai l'impression que ta réponse est "ben regarde le corps des coupures de Dedekind".
Je pars d'axiomes du style : on se donne un ensemble de droites affines d'un espace affine $V$ de dimension $4$, certains s'appellent "objets matériels", d'autres "photons", un ensemble de bijections affines $V$ vers $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}$ (des "référentiels"), on suppose :
- que tous la vitesse des photons ne dépend pas du référentiel ;
- que pour tout référentiel $R$, et tout vecteur $v \in \mathbb{R}^3$ de norme euclidienne plus petite que la vitesse de la lumière, il y a un "objet matériel" dont le vecteur vitesse vu par $R$ est $v$ ;
- qu'il est possible d'attacher à tout objet matériel un référentiel qui le voit immobile ;
- des hypothèses d'isotropie que je ne suis pas encore sûr de savoir formaliser.
Dès lors, je cherche à montrer que pour tout couple de référentiels tel que l'un voit l'origine de l'autre se déplacer le long d'un vecteur $v$, alors nécessairement la norme de $v$ (mesurée par l'un quelconque des référentiels) est plus petite que la vitesse de la lumière et que la matrice de la partie linéaire du changement de référentiel est de la forme qu'on trouve dans les livres de physique.
Le problème que j'ai, c'est qu'il n'est pas clair pour moi que ces hypothèses suffisent pour conclure que les longueurs dans les directions orthogonales à $v$ sont conservées.
Il pose les postulats de départ comme l'homogénéité de l'espace, l'uniformité du temps (bon il est un peu brouillon) et tout s'en déduit naturellement.
Une chose intéressante est qu'il ne suppose pas que la vitesse de la lumière est invariante par changement de référentiel pour en déduire la transformation de Lorentz. En fait via les postulats de départ on en déduit qu'il existe une vitesse invariante par changement de référentiel et il se trouve que les photons vont à cette vitesse (car pas matériels).
Bref voici le lien au cas où
Par contre il fait vraiment énormément de blabla. Pour arriver à la transformation de Lorentz il faut suivre 5 heures de cours environ.
Ah oui ? Incroyable ! Je vais regarder, merci beaucoup !
Cela dit, je crois que je comprends un peu son argument pour répondre à ma question. Je vais y réfléchir un peu... Ca se passe à cet instant-ci de la vidéo 5.
Je ne vais pas te contredire, j'ai dû me faire violence pour me coltiner les 13 vidéos du cours, mais je ne regrette pas. J'y vois plus clair maintenant.
De toute façon toute cette histoire avec la transformée de Lorentz ne sert qu'à se rendre compte que finalement l'objet principal n'est pas la transformée de Lorentz mais l'espace temps vu comme espace affine de dimension 4 avec la pseudo-métrique idoine.
En plus, je crois qu'il dit une bêtise : si une application affine envoie tout plan sur un plan parallèle, alors elle envoie toute droite sur une droite parallèle, donc sa partie linéaire envoie tout vecteur sur un vecteur qui lui est colinéaire, et d'après l'exercice classique, c'est une homothétie. Or, lui, il fait une déduction de la forme "cette application doit envoyer un plan sur un plan parallèle ("sinon, y'aurait un angle, et si y'a un angle, pourquoi comme ci plutôt que comme ça ?" (sic)) et donc tels coefficients sont nuls" qui revient à peu près à déduire "si c'est une homothétie, alors ce n'est pas une homothétie"...
ici
là
EDIT : Arf, je crois que je tiens le bon bout !
L'argument de l'angle m'avait l'air raisonnable (isotropie de l'espace). Disons que c'est quand même de la physique, pas des maths à 100%.
Après j'avoue que ce n'était pas la partie qui m'intéressait le plus donc voilà je n'ai pas trop pinaillé avec moi-même.
L'auteur traite également très sérieusement) de beaucoup de sujets, dont celui-ci : la terre est elle plate ?
Le sujets traités tournent autour de la physique, mais il a aussi abordé une question mathématique : l'hypersphère (qu'il réussit à représenter, avec des astuces géniales (et beaucoup de travail ...) !)
Je me permets d'intervenir ici car ma question est inspirée, dans son esprit, par le principe de la relativité.
J'aimerais donc savoir si dans le fichier joint, la condition que je requiers, à savoir $\epsilon_{g(\varphi),s}=\epsilon_{\varphi,s}$ pour tout $(g,\varphi,s)$, est ou non équivalente à l'axiome du choix. Si oui fait-ce de RH un indécidable de ZF ?
Merci et bonne fin de journée.
En tout cas, le lien avec le fil me semble très ténu.
@raoul : Ca t'intéresse, si je tire un énoncé bien propre ? J'ai presque fini, mais j'aimerais bien voir si ma traduction est fidèle.
Bon, histoire de ne pas laisser tomber (il faut que je mette des trucs au propre) je crois qu'une partie de l'énoncé peut se formaliser de la manière suivante. Je précise que je crois que j'ai fait des erreurs de calcul (notamment parce que le corollaire a l'air faux). Mais l'idée est là, je crois qu'il suffit de chasser les erreurs de calcul !
On pose $E := \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}$.
Soit $A \in GL(E)$. S'il existe $v \in \mathbb{R}^3$ de norme $1$, $\alpha,\gamma \in \mathbb{R}^*$ tels que $A \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
\gamma^{-1}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\alpha v\\
1\\
\end{pmatrix}$, on dit que $A$ est "glissante". Si $A$ est glissante, les $v,\alpha,\gamma$ sont plus ou moins uniquement définis.
Si $A$ est glissante de vecteur $v$, on dit qu'elle vérifie le premier axiome d'isotropie si $A$ commute à toutes les matrices de la forme $\begin{pmatrix}R&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\\end{pmatrix}$ dans une base de la forme $(v_1,v_2,v,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\\end{pmatrix})$ où $(v_1,v_2,v)$ est une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$.
Si $A$ est glissante de vecteur $v$, on dit qu'elle vérifie le deuxième axiome d'isotropie si $SAS = A^{-1}$ où $S$ est la matrice $\begin{pmatrix}1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&1\\
\end{pmatrix}$ dans une base de la forme $(v_1,v_2,v,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\\end{pmatrix})$ où $(v_1,v_2,v)$ est une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$.
Théorème : Soit $G$ un sous-groupe de $GL(E)$. On suppose que pour tout $v \in \mathbb{R}^3$ de norme $1$, en notant $Gliss(G,v)$ le sous-ensemble des trucs qui sont soit l'identité, soit des applications glissantes de vecteur $v$ vérifiant les deux axiomes d'isotropie, eh bien, on suppose que $Gliss(G,v)$ est un sous-groupe.
Alors, pour tout $v \in \mathbb{R}^3$ de norme $1$, il existe un (unique) réel $k$ tel que pour toute base de la forme $(v_1,v_2,v,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\\end{pmatrix})$ où $(v_1,v_2,v)$ est une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$, pour tout $A \in Gliss(G,v)$, la matrice de $A$ dans cette base est $\begin{pmatrix}R&0&0\\
0&\pm \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha^2k}}&-(\pm)\frac{\alpha}{\sqrt{1 - \alpha^2k}}\\
0&-(\pm)\frac{\alpha k}{\sqrt{1-\alpha^2k}}&\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \alpha^2k}}\\
\end{pmatrix}$ (c'est plutôt la transposée de ça, que je trouve sur Wikipédia, je me suis peut-être trompé... en fait, pas de problème, la transposée vient de la dualité vecteurs-coordonnées) où $R$ est une matrice de rotation et où les signes peuvent être supposés $+$ sous des hypothèses topologiques sur $G$.
De plus, si on suppose que l'unique $k$ ne dépend pas de $v$, et qu'on suppose encore quelque chose de physiquement pertinent (mais quoi ? voir plus bas), on peut déterminer son signe (en fait voir que $k$ ne peut être que positif ou nul), et on pose alors $c := \frac{1}{\sqrt{\vert k \vert}}$ et on peut démontrer que ce $c$ est la vitesse limite que peuvent atteindre les choses ($\vert \alpha \vert < c$) ; en outre, si $k$ est nul, ça fait des matrices du groupe de Galilée, et si $k$ est non nul, ça fait des matrices du groupe de Lorentz (quitte à normaliser $k$).
Corollaire : Soit $G$ un groupe comme dans le théorème précédent et supposons qu'on n'est pas dans le cas de Galilée. Alors il existe un réel positif $c$ tel que $G$ préserve la forme $(x,y,z,t) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2$.
Fait amusant : la composition de deux transformations non triviales de la forme précédente, mais avec des $k$ différents, ne vérifie pas le deuxième axiome d'isotropie, et, ce qui est équivalent, ne commutent pas.
Si j'ai bien compris, tes matrices glissantes correspondent, compte tenu des contraintes d'isotropie, aux boosts de Lorentz composés avec des rotations statiques (cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Lorentz ).
Quoi qu'il en soit, ce que je retiens de ces vidéos est, comme déjà dit, que l'objet principal n'est pas la transformée de Lorentz mais l'espace temps vu comme espace affine de dimension 4 avec la pseudo-métrique idoine.
Oui, une matrice glissante qui vérifie des trucs est forcément un boost composé avec une rotation statique (dans le plan orthogonale à la direction de glisse, bien sûr), "pour une certaine vitesse de la lumière". Et l'hypothèse pour dire "la vitesse de la lumière est constante", c'est "pour tout couple de matrices glissantes qui vérifie des trucs, alors leur composée vérifie aussi ces trucs".
Oui mais justement : là, la démarche, c'est soit $G$ un groupe (dit de "changements de référentiel") qui vérifie des hypothèses ; alors $G$ est l'ensemble des changements de carte d'un atlas d'une variété (qui est en fait un espace affine :-D) préservant une forme quadratique particulière. C'est comme si toi tu disais : "le truc important, c'est cet exemple concret" alors que la vidéo <<démontre>> "en fait, cet exemple est le seul qui arrive".
Si un jour tu re-regardes ces vidéos, je voudrais bien que tu me dises si les hypothèses d'isotropie qu'il fait se formalisent de la façon dont je l'ai fait. Mais bon, je comprendrais que tu n'aies pas envie de les revoir
C'est beau l'empathie... :-D
J'ai quand même fait un petit effort et si je ne me trompe pas ce passage de ton texte :
Si $A$ est glissante de vecteur $v$, on dit qu'elle vérifie le deuxième axiome d'isotropie si $SAS = A^{-1}$ où $S$ est la matrice $\begin{pmatrix}1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&1\\
\end{pmatrix}$
est la formalisation de ces passages des vidéos
Pour ta formalisation du premier axiome d'isotropie je n'ai pas trouvé dans les vidéos mais eu la flemme de chercher plus.
Pour le premier axiome, ben, il dit en gros "on peut choisir les axes comme on veut (tant qu'on en prend un dans la direction de glisse), ça ne doit pas changer le changement de référentiel" et "ce qui se passe orthogonalement à la direction de glisse ne doit pas dépendre de la direction (tant qu'elle est orthogonale", et "blablabla". C'est pour ça que j'ai traduit en "commuter à toutes les rotations spatiales d'axe la direction de glisse".
Pour mon problème de transposée, en fait je crois que ce que j'ai est correct, et que c'est juste que j'ai choisi de travailler avec des vecteurs, et lui avec des coordonnées, et ça dualise le truc. Enfin, je crois, c'était un de mes cauchemars d'étudiant :-D
Mais du coup, si les grandeurs physiques d'espace, de temps, de masse se révèlent être dénombrables, puisque "granulaires", cela voudra dire qu'on pourra faire l'économie de la notion d'unité (avec ce qu'elle a d'arbitraire) ? Je ne vois pas bien non plus ce que devient la dérivabilité , etc .....
En reprenant les notations ci-dessus, Parizot conclut que le réel $k$ tel que pour toute matrice $A$ glissant le long d'un vecteur $v \in \mathbb{R}^3$ de norme $1$, alors le bloc en bas à gauche de la matrice de $A$ dans les bonnes bases décrites plus haut est $\begin{pmatrix} \gamma&-\alpha\gamma\\
-k\alpha\gamma&\gamma\\
\end{pmatrix}$ ne peut être négatif.
Son argument est le suivant : on ne considère que des $A$ glissant le long d'un vecteur $v$ fixé. Si tous les choix ont été faits, $\alpha$ est uniquement défini et on peut le noter $\alpha(A)$ ($\gamma$ aussi est uniquement défini mais peu importe) ; en outre, on pose $\alpha(id) = 0$. Le calcul démontre que pour tout couple $(A,A')$, $\alpha(A\circ A') = \frac{\alpha(A)+\alpha(A')}{1+k\alpha(A)\alpha(A')}$. Parizot dit alors que si $k$ est négatif, ça peut poser des problèmes ($A$ et $A'$ pourraient avoir leur $\alpha$ positif alors que le $\alpha$ de leur produit pourrait être négatif, ce qui va à l'encontre de l'intuition sur le caractère ordonné des glissades - si on va à droite, puis à droite, on va toujours à droite).
Pourtant, il n'en résulte pas moins quelque chose de mathématiquement cohérent : supposons que $k$ est négatif et non nul. Posons $c := \frac{1}{\sqrt{-k}}$. Si on choisit de considérer $\arctan$ comme partant de $\mathbb{R}\cup \{\infty\}$ et prenant ses valeurs dans,$\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z}$, posons $\phi : A \mapsto \arctan\left(\frac{\alpha(A)}{c}\right)$. Alors $\phi$ est un morphisme : en effet, soient $A,A'$. Notons $\alpha$ et $\alpha'$ les images de $A$ et $A'$ par $\alpha$, et soient $\psi,\psi'$ des éléments de $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ tels que $\alpha = c\tan \psi$ et $\alpha' = c\tan \psi'$. Alors $\phi(A\circ A') = \arctan \left(\frac{1}{c}\alpha(A\circ A')\right) = \arctan \left(\frac{1}{c}\frac{\alpha+\alpha'}{1+k\alpha\alpha'}\right) = \arctan \left(\frac{1}{c}\frac{c\left(\tan\psi + \tan\psi'\right)}{1+kc^2\tan\psi\tan\psi'}\right) = \arctan \left(\frac{\tan\psi + \tan\psi'}{1-\tan\psi\tan\psi'}\right)$. Or $\arctan \left(\frac{\tan\psi + \tan\psi'}{1-\tan\psi\tan\psi'}\right) = \arctan \left(\tan (\psi+\psi')\right) = \psi+\psi' = \phi(A) + \phi(A')$ (où le $+$ de $\psi+\psi'$ se comprend comme la loi de composition de $\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z}$).
Ainsi, $\phi$ plonge $Gliss(G,v)$ dans $\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z}$. Et alors ? Ca donne une géométrie un peu bizarre, mais bon, est-ce si grave ? J'en conclus donc que quand Parizot "déduit" $k\geq 0$, il veut simplement dire "le cas $k<0$ donne une géométrie exotique et on suppose dorénavant que $k\geq 0$. Qu'en pensez-vous ?
EDIT : Noter que Gialis, en bas de la page 6 de ce document, considère ce cas (c'est le "2)"). Je ne suis pas trop convaincu.
Mathématiquement ça tient la route mais physiquement il n'y aurait pas des problèmes ? Par exemple avec la formule des compositions des vitesses : $v_3=\dfrac{v_1+v_2}{1+kv_1v_2}$. Si $k<0$ $v_3$ pourrait être infinie dès que $v_1v_2=-1/k$... une limite sur le produit ça pose des problèmes physiquement insurmontables je crois.
Remarque concernant ton morphisme $\phi$, avec $k>0$ on a aussi un morphisme je crois en prenant l'arctangente hyperbolique plutôt. Pas vérifié mais si c'est un morphisme il va de $Gliss(G,v)$ dans $\mathbb{R}/2\mathbb{Z}$.
Pour le cas $k<0$, le cas d’une « vitesse infinie » correspond (limite où $\alpha$ tend vers l’infini et $\gamma$ vers $0$) à une rotation d’un quart de tour dans le plan engendré par l’axe de glisse et... le temps !
Dans un certains sens le cas $k<0$ est plus "naturel" car la métrique (cette fois c'en est bien une) provient du produit scalaire standard sur $\R^4$. L'intervalle d'espace temps serait $c^2\Delta t^2+\Delta l^2$ et le jumeau qui reste sur terre est plus jeune que celui qui est parti...