Recouvrement de la boule unité fermée
Bonjour
Lors de la démonstration du théorème de Riez (dans les compacts) mon professeur a utilisé dans la preuve que l $ \{ {\rm B}(x, \frac{1}{2} )\mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ est un recouvrement d'ouverts de $ \overline{\rm B} (0,1). $ J'aurais voulu le montrer mais je n'y arrive pas.
J'ai pu montrer que $ \overline{\rm B} (0,1) \subset \{ \cup {\rm B}(x, \frac{1}{2} ) \mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ mais je n'arrive pas à montrer l'inclusion inverse.
Soit $ y \in \{ \cup {\rm B}(x, \frac{1}{2} ) \mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ donc $ \exists x \in \overline{\rm B} (0,1) $ tel [que] $y \in {\rm B}(0 \frac {1}{2} ) $ mais je n'arrive à montrer que $ y \in \overline{\rm B} (0,1) $.
Si quelqu'un pouvait m'aider ou me donner des indications .
Cordialement.
Lors de la démonstration du théorème de Riez (dans les compacts) mon professeur a utilisé dans la preuve que l $ \{ {\rm B}(x, \frac{1}{2} )\mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ est un recouvrement d'ouverts de $ \overline{\rm B} (0,1). $ J'aurais voulu le montrer mais je n'y arrive pas.
J'ai pu montrer que $ \overline{\rm B} (0,1) \subset \{ \cup {\rm B}(x, \frac{1}{2} ) \mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ mais je n'arrive pas à montrer l'inclusion inverse.
Soit $ y \in \{ \cup {\rm B}(x, \frac{1}{2} ) \mid x \in \overline{\rm B} (0,1) \} $ donc $ \exists x \in \overline{\rm B} (0,1) $ tel [que] $y \in {\rm B}(0 \frac {1}{2} ) $ mais je n'arrive à montrer que $ y \in \overline{\rm B} (0,1) $.
Si quelqu'un pouvait m'aider ou me donner des indications .
Cordialement.
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Réponses
S'agit-il bien de "un recouvrement d'ouverts " ou de "un recouvrement ouvert", c'est à dire d'un ensemble d'ouverts de l'espace qui recouvre la boule ? Et donc, par intersection avec la boule, ça donne un recouvrement d'ouverts de de la topologie induite.
Cordialement.
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
Ne perds pas de temps à des démonstrations inutiles, surtout de choses fausses.
Pour rappel, une réunion d'ouverts est un ouvert.
Tu devrais relire la définition de "recouvrement" au sens où tu l'utilises.
Merci pour l'aide
On passe à la topologie induite en prenant les $ {\rm B}(x, \frac{1}{2} ) \cap \overline{\rm B} (0,1)$ et à ce moment là, ce que tu voulais montrer Mohamed1354, devient évident. mais ça complique inutilement.
Cordialement.
J'ai peut-être été un peu trop péremptoire dans mon message précédent.
Cordialement.