Intégrale exacte

Au cas où ça donne une idée à quelqu'un, j'ai fait une décomposition en éléments simples à l'intérieur de l'exponentielle :

$\displaystyle \int_{-1}^1 \exp \bigg( \dfrac{-1}{1-u^2} \bigg) {\rm d}u = \int_{-1}^1 \exp \bigg( \dfrac{1}{2(u-1)} - \dfrac{1}{2(u+1)} \bigg) {\rm d}u = \dfrac{1}{2}\int_{-2}^2 \exp \bigg( \dfrac{1}{v-2} - \dfrac{1}{v+2} \bigg) {\rm d}v$

Peut-être qu'il faut poser $u=\cos(t)$ ou $u=\sin(t)$ pour continuer, j'essaie de mon côté.

Je suis dubitatif sur le fait de donner une forme close simple à l'intégrale proposée.

On pourrait peut-être enchaîner avec $z=\sqrt{y-1}$ mais je doute que cela mène très loin.

Avec ton CDV on tombe sur :

$2\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\sqrt{z^2+1}}{(z^2+1)^2\exp(z^2+1)}{\rm d}z$

HT:
On peut faire des simplifications dans l'intégrande (mais ce n'est pas "ouf")

Bonjour,

D'abord, la fonction $\displaystyle z \mapsto \exp(- {1 \over 1-z^2})$ pour $\displaystyle z \in C, z\neq \pm 1$ n'admet pas de primitive définie par des fonctions élémentaires. On a partagé un document sur un autre fil.

L'intégrale $\displaystyle I=\int_{-1}^{1} \exp(- {1 \over 1-x^2}) dx$ existe et s'exprime avec des fonctions à la con.

Voici une référence à connaître par coeur :
$\displaystyle \int_u^{+\infty} x^{\nu-1} (x-u)^{\mu-1} e^{- \beta x} dx = \beta^{-{\mu+\nu \over 2}} u^{{\mu+\nu-2 \over 2}} \Gamma(\mu) e^{{-\beta u\over 2}} W_{{\nu-\mu\over 2},{1-\mu-\nu \over 2}}(\beta u)$ avec $\displaystyle \Re(\mu)>0, \Re(\beta u)>0.$

Application : $I$ est obtenue avec $\displaystyle u=1, \nu=-{1\over 2}, \mu={1\over 2}, \beta=1.$

On a donc $\displaystyle \int_{-1}^{1} \exp(- {1 \over 1-x^2}) dx=\sqrt{{\pi\over e}}W_{-{1\over 2},{1\over 2}}(1) = {1 \over \sqrt{e}}(K_1({1\over 2}) - K_0({1\over 2}))={\sqrt{\pi} \over e}U({3 \over 2},2,1)\sim 0,44\,399\,38161\,68079$ avec $W(k,m,z)$ la fonction de Whittaker, $K_n(z)$ la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce et $U(a,b,z)$ la fonction hypergéométrique de seconde espèce.