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Endomorphisme et projecteurs

Bonsoir,

Je bloque sur la première question.127860

Réponses

  • Bonsoir,

    Pourtant, cette question 1 se fait de tête.
    Tu n'as pas beaucoup de choix en matière de sous espaces et tu dois savoir ce qu'est un projecteur.

    Cordialement,

    Rescassol
  • $p_j$ est le projecteur sur $E_j$ parallèlement à $\bigoplus\limits_{k\neq j}E_k$.
  • Bonsoir,

    Fallait pas lui dire !!

    Cordialement,

    Rescassol
  • Merci j'ai trouvé.

    Soit $x \in E$ alors $x=\displaystyle\sum_{j=1}^m x_j$ où $x_j \in E_j$

    Donc $u(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^m u(x_j)=\displaystyle\sum_{j=1}^m \lambda_j x_j$

    Mais $\forall k \in \N \ \ u^k(x_j)=\lambda_j ^k x_j$

    Mais $x_j =p_j(x)$ où $p_j$ est le projecteur sur $E_j$ parallèlement à $\displaystyle\bigoplus_{i \ne j} E_i$

    Ainsi $\boxed{\forall k \in \N \ u^k=\displaystyle\sum_{j=1}^m \lambda_j ^k p_j}$
  • La question 2.1 est élémentaire :

    Posons $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ alors $P(u)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k$

    Mais alors $P(u)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \displaystyle\sum_{j=1}^m \lambda_j ^k p_j$

    On peut intervertir les sommes car elles sont finies ainsi $P(u)=\displaystyle\sum_{j=1}^m \left( \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \lambda_j ^k \right) p_j$

    Enfin $\boxed{P(u)=\displaystyle\sum_{j=1}^m P(\lambda_j) p_j}$
  • Je bloque à la question 2.2.
  • Passe donc à un autre problème plus abordable, quel intérêt que l'on te donne un corrigé ? Tu en possèdes déjà un !
  • En dernier recours pour la 2.2 un raisonnement par analyse-synthèse peut-être...


    Edit : ah oui je n'avais pas vu la réponse de noobey, effectivement c'est plus expéditif comme ça B-)-
  • $P(X)=\prod (X-\lambda_j)$
  • Un problème plus abordable que e3a ça existe ?

    Noobey
    Je ne cherche pas de corrigé juste des indications pour finir moi-même.

    Je pense avoir trouvé l'idée avec l'indication de Raoul.S on va partir de $P(u)=0$ et trouver une condition sur $P$.
  • Peut être des sujets de l'ENAC, à l'époque où le concours se passait à la fin de la sup ?
    Exemple : https://www.doc-solus.fr/prepa/sci/adc/pdf/enonces.pdf/2005/SUP_MATHS_ENAC_1_2005.enonce.pdf
    Quand tu feras des sujets de ce type sans le corrigé, et sans écrire d'énormités, peut-être sera-t-il temps de passer à autre chose ?
    Par exemple, des sujets de "Petites Mines"
    Exemple : http://www.sujetsetcorriges.fr/dl/Mines/Maths/Speciale/sec-mines-2006-mathsspe.pdf
    Puis quand tu en aurais réussi suffisamment, t'attaquer aux e3a et CCP.
    Mais venir demander des indices à chaque question d'un sujet e3a, cela ne te fera pas progresser !
  • Je n'aime pas les sujets de sup des petites Mines ou de l'ENAC. Je ne les trouve pas intéressants et en plus j'ai envie de travailler des notions de spé aussi comme la réduction.
    Je veux savoir si mes raisonnements sont corrects ou faux.

    Je ne demande pas de l'aide à chaque question. J'ai réussi la question 2.1 seul.

    D'après l'expression de $P(u)$, si $P(u)=0$ alors $\displaystyle\sum_{j=1}^m P(\lambda_j) p_j =0$

    Soit $x \in E$ alors $x= x_1 + \cdots + x_m$ où $x_i \in E_{\lambda_i}$.

    Soit $k \in [|1m|]$. On évalue en $x_k$ ce qui donne $\displaystyle\sum_{j=1}^m P(\lambda_j) p_j (x_k) =0$ ainsi $ P(\lambda_k) x_k=0$

    Comme $x_k$ est un vecteur propre il est non nul donc $P(\lambda_k)=0$ pour tout $k \in [|1,m|]$.

    Ainsi $P = U(X) \displaystyle\prod_{k=1}^m (X-\lambda_k)$ où $U$ est un polynôme.

    Réciproquement, le polynôme $P(X)= \displaystyle\prod_{k=1}^m (X-\lambda_k)$ annule $u$ car $u- \lambda_k id_E =0$

    Le polynôme $\boxed{P(X)= \displaystyle\prod_{k=1}^m (X-\lambda_k)}$ est scindé à racines simples et annule $u$.
  • C'est du e3a ?
    Je pense que du CCP direct n'aurait pas été trop osé. C'est du parfait refaisage de cours aussi.

    En tous cas bonne initiative pour une fois !
  • Oui CCP semble plus intéressant quand même avec une difficulté modérée.

    La suite est très classique. Seule la dernière question me semble plus compliquée.

    Question 2.3.1 :
    $\boxed{L_j(\lambda_i)= \delta_{ij}}$

    Question 2.3.2 :
    La famille $(L_j)_{1 \leq j \leq m}$ contient $m$ éléments et $\dim \C_{m-1}[X]=m$, il suffit de montrer que la famille est libre.

    Supposons $\displaystyle\sum_{k=1}^m \lambda_k L_k =0$

    On évalue en $\lambda_i$ et on trouve $\lambda_i =0$ pour tout $i \in [|1,m|]$.

    Question 2.3.3 :
    Soit $P \in \C_{m-1}[X]$ alors $P=\displaystyle\sum_{k=1}^m \lambda_k L_k $

    Or $P(\lambda_i)=\lambda_i$ on en déduit $\boxed{P=\displaystyle\sum_{k=1}^m P(\lambda_k) L_k }$

    Question 2.3.4 :

    D'après ce qui précède $L_j(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^m L_j(\lambda_k) p_k= p_j$

    Dernière question :
    Il faut démontrer $sp(u)= \{ \lambda_1, \cdots, \lambda_m \}$ par double inclusion.

    Une est évidente d'après la question 2.2. On a $sp(u) \subset \{ \lambda_1, \cdots, \lambda_m \}$

    L'autre semble plus difficile.
  • Montre que si $\lambda_j$ n'est pas valeur propre, alors $p_j$ est nul.
  • Gai Requin, je dois montrer que $\{ \lambda_1, \cdots, \lambda_m \} \in sp(u)$ et ça me semble difficile.

    Ainsi, on doit montrer qu'il existe un $x_i \in E$ tel que $u(x_i)= \lambda_i x_i$ pour tout $i \in [|1,m|]$.

    Je n'ai pas trop compris le rapport entre ton indication et la question.

    $\lambda_j$ est valeur propre de $u$ si et seulement si il existe $x_j \ne 0$ tel que $u(x_j)= \lambda_j x_j$

    $\lambda_j$ n'est pas valeur propre si et seulement si pour tout $x_j \ne 0$ on a $u(x_j) \ne \lambda_j x_j$
  • Supposons qu'il existe un entier $j\in1,m$ tel que $\lambda_j$ ne soit pas valeur propre de $u$.
    Comme $u$ est diagonalisable avec $\mathrm{Spec}(u)\subset\{\lambda_1,\ldots,\lambda_m\}$, il existe des complexes $\mu_1,\ldots,\mu_n\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_m\}\setminus\{\lambda_j\}$ et une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est $\mathrm{Diag}(\mu_i)$.
    Dans cette même base, la matrice de $p_j=L_j(u)$ est $\mathrm{Diag}(L_j(\mu_i))=(0)$ : contradiction.
  • Gai Requin joli c'est un raisonnement par l'absurde je n'avais pas fait attention.

    Le corrigé officiel fournit une méthode longue et fastidieuse et ne semble pas avoir vu ton idée ::o

    Sans être difficile, cette dernière question nécessite une bonne intuition que je n'ai pas encore.127896
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  • Oui, la preuve par l'absurde est l'apanage du faignant :-)
  • On te demande deux questions avant d'exprimer un polynôme dans la base des Lj et ensuite de montrer que les valeurs propres nanana.
    On t'a en gros invité directement à utiliser directement la décomposition du polynôme minimal de u dans la base pour avoir une cl nulle des pj qui sont indépendants.

    Il faut vraiment apprendre à voir où on veut t'emmener.
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