Chaîne de Markov, état récurrent, retour à 0
Bonjour, j’ai essayé de faire l'exercice ci-dessous, sans succès malheureusement.
De plus je ne parviens pas a comprendre la correction, notamment la définition de $f_{0,0}$ implique une intersection et pas une proba conditionnelle, je donne la définition de $f_{i,i}$ plus bas, et j'ai entouré ce qui me pose problème.
Merci d'avance pour vos réponses.
De plus je ne parviens pas a comprendre la correction, notamment la définition de $f_{0,0}$ implique une intersection et pas une proba conditionnelle, je donne la définition de $f_{i,i}$ plus bas, et j'ai entouré ce qui me pose problème.
Merci d'avance pour vos réponses.
Réponses
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voila la suite
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Définition générale de $f_{ii}$.
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Bonjour,
Pour la première question, dessinez le graphe de transition sur les $k$ premiers états, ça devrait être plus clair ! (Construire les trajectoires partant de 0, n'y revenant pas en $n$ pas)
Cordialement -
Bonjour ?
Merci pour le conseil, voilà ce que j'ai trouvé.
[Contenu (partiel) du pdf joint. AD] -
Pas sûr que ce soit le bon graphe. La somme des probabilités des transitions issues de 2 (ou de 3) ne fait pas 1 !
Toutefois la forme du graphe sera assez proche de cette tentative... une fois tracé le bon graphe (n'hésitez pas à le faire figurer ici), essayez d'expliquer "avec des mots" la quantité que vous cherchez à évaluer...
Je pense que vous avez également intérêt à passer au complémentaire, ça devrait être plus simple.
Bon courage ! -
Bonjour,
oui il manque un certains nombres de chemins,pour ne pas trop alourdir le dessin,mais l’idée pour moi était de faire apparaitre les chemins menant directement d'un état à l'état 0 afin d'obtenir l'inégalité avec ${1}/{n}$. -
bon je vais devoir
revoir tout cela car les probas en rouge sont décalé d'une unité au dénominateur -
Pour le graphe, on devrait pouvoir transiter de $3$ à $0$, $1$, $2$ et $4$ avec équiprobabilité ($1/4$)...
Voilà donc l'idée à formaliser : on cherche la probabilité de ne pas revenir en $0$, sachant qu'on a fait $n$ pas sans revenir à $0$ (en partant de $0$). On a
$$\mathbb P[X_n\ne 0\; |\; X_0=0,\; X_1\ne 0,...,\; X_{n-1}\ne 0]=1-\mathbb P[X_n = 0\; |\; X_0=0,\; X_1\ne 0,...,\; X_{n-1}\ne 0]$$
Quand est-ce que la quantité $\mathbb P[X_n = 0\; |\; X_0=0,\; X_1\ne 0,...,\; X_{n-1}\ne 0]$ est minimale (autrement dit, pour quelle trajectoire) ? -
Pour être sûr qu'on parle bien du même graphe, voilà ce qui se passe sur les quatre premiers états :
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Oui
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Je viens de me rendre compte que j'ai oublié le chemin de 1 vers zéro.
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Pour une trajectoire "directe" jusqu'à $n-1$ sans revenir à zéros puis la dernière marche jusqu’à $n$ atteint zéro.
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Très bien, c'est ça l'idée ! Pour la suite, écrivez l'événement complémentaire à celui utilisé pour définir $f_{0,0}$... connaissez-vous la formule des probabilités composées ?
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Oui,je vais tenter cette démarche
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Bonjour!
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