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X 1908

Bonjour,

On divise la suite des nombres impairs en groupes contenant le premier un nombre, le deuxième deux nombres, le troisième trois nombres, etc.; trouver la somme des nombres du énième groupe.

A+

Réponses

  • Et on trouve que le niveau baisse ?
  • RE

    Les X de 1908 n'étaient peut-être pas très pointus en algèbre, mais il faut voir les épreuves de géométrie descriptive qu'on leur posait !
    En outre, ils lisaient Virgile et Homère dans le texte !

    A+
  • C'est rigolo !
    Je trouve $n^3$.
  • Moi aussi !
    Il est tordant l'exo, il va partir dans mes feuilles d'exercices illico !
  • C'est relativement connu. En utilisant le fait que la somme des $n$ premiers nombres impairs est égale à $n^2$ on en déduit que la somme des $n$ premiers cubes est égale au carré de la somme des $n$ premiers entiers.
  • Très très relativement alors ...
    sauf que là, comme ça, de tête, je ne vois pas le rapport avec la question !
    moi j'ai bêtement sommé les impairs de N+1 à N+n où N=n(n-1)/2
  • Je me suis peut-être mal exprimé.

    Je voulais dire qu'on déduit du résultat énoncé par Piteux_gore que la somme des $n$ premiers cubes est égale au carré de la somme des $n$ premiers entiers (en utilisant le fait bien connu que la somme des $n$ premiers nombres impairs est égale à $n^2$).
  • RE

    Plus précisément, on vient de prouver que
    $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = 1 + (3+5) + (7+9+11) + ... + (...)$.
    Cette somme est celle des $n(n+1)/2$ premiers entiers impairs et vaut donc
    $n^2(n+1)^2/4$.

    A+
  • Piteux_gore :
    Bonsoir,
    dans ce que tu as écrit, quel est le dernier terme de $(1) + (3+5) + (7+9+11) + ... + (...)$ ?

    Merci d'avance,
    Mohammed R.
  • RE

    Le dernier terme est
    $((n-1)n+1)+((n-1)n+3)\ +...+((n-1)n+2n-1)$.

    A+
  • D'accord merci !
    A la revoyure,
    Mohammed R.
  • Si l'énoncé est exactement celui posé par Piteux_gore alors cet énoncé est tout pourri. :-D

    Si j'ai bien compris, tout le monde est censé comprendre que tous les nombres du n-ième groupe sont supérieurs à tous les nombres des groupes précédents?
    Si j'ai envie de mettre dans le groupe à deux éléments les nombres $2^{12345678}+1$ et $2^{123456789}+1$ (qui sont impairs), l'énoncé formellement ne me l'interdit pas. B-)-
  • RE

    Partant de là on peut bâtir un exercice instructif :
    1) Quels sont le énième entier naturel pair et le énième entier impair ?
    2) Calculer la somme des $n$ premiers entiers, la somme des $n$ premiers entiers pairs et la somme des $n$ premiers entiers impairs.
    3) X 1908
    4) Calculer la somme des cubes des $n$ premiers entiers.

    A+
  • RE

    On a vu que la somme des $n$ premiers entiers impairs vaut $n^2$.
    De même, la somme des $2n$ premiers entiers non multiples de $3$ vaut $3n^2$, la somme des $3n$ premiers entiers non multiples de $4$ vaut $6n^2$, ..., la somme des $(k-1)n$ premiers entiers non multiples de $k$ vaut $(k-1)kn^2/2$.

    A+
  • Oh misère! Comme le niveau devait être élevé, j'ai cru que la suite était celle des nombres premiers... Peut-on aussi résoudre mon problème (sans passer par Orsai)?
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