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Forme linéaire

Bonsoir,

Un exercice de E3A pour tester ma compréhension de l'algèbre linéaire.

Question $1$ :
Famille à $n+1$ éléments et échelonné en degré de cardinal la dimension de $\R_n[X]$.

Question $2.1$ :
L'intégrale est linéaire de $\R_n[X]$ dans $\R$.

Question $2.2$ :
On sait que $\dim Im(\varphi) \leq 1$. Mais $\varphi$ est une forme linéaire non nulle donc $\boxed{\dim Im(\varphi)=1}$

Le théorème du rang assure que $\boxed{\dim \ker(\varphi)= n}$

Question $3.1$ :
L'intégrale est linéaire.

Question $3.2$ :
La base canonique de $\R_n[X]$ est $(1,X, \cdots, X^n)$.

Calculons $\psi(X^k)$ pour $k \in [|0,n|]$. On a $\psi(X^k)= \dfrac{X^{k+1}}{k+1}$

Or $Im(\psi)=Vect( \psi(1), \cdots, \psi(X^n))= Vect(X, X^2/2, \cdots, X^{n+1} / (n+1))$

Mais $ Vect(X, X^2/2, \cdots, X^{n+1} / (n+1))= Vect(X,X^2, \cdots, X^{n+1})$

On a montré $\boxed{Im(\psi)= Vect(X,X^2, \cdots, X^{n+1})}$

Question $3.3$ :

Soit $P \in \ker(\varphi)$. Alors $\varphi(P)=0$. Ainsi, $Q(1)=0$. Je bloque ici.127858

Réponses

  • Si $Q(1)=0$ alors $1$ est une racine de $Q$ et qu'est-ce que tu peux dire du polynôme $Q$ dans ce cas ?
  • D'accord merci. Je n'ai pas compris au départ l'indication mais après un temps de réflexion assez long j'ai trouvé.

    On a $Q(1)=Q(0)=0$. Ainsi, il existe un polynôme $U \in \R[X]$ tel que $Q(X)=X (X-1) U(X)$

    Mais $\varphi(P) \in \R_{n+1} [X]$ ainsi $\deg(U) \leq n-1$

    Mais $U \in \R_{n-1} [X]$ donc $U \in Vect(1,X, \cdots, X^{n-1})$

    Par conséquent $\boxed{Q=\psi(P) \in Vect( X(X-1), X^2(X-1), \cdots, X^n (X-1))}$

    Réciproquement, si $\varphi(P) \in Vect( X(X-1), X^2(X-1), \cdots, X^n (X-1))$ alors $1$ est racine de $\psi(P)$ donc $\psi(P)(1)=Q(1)=\varphi(P)=0$ donc $P \in \ker(\varphi)$.

    Question $3.4$ :

    Soit $P \in \ker(\varphi)$ alors $\psi(P) = \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k (X-1)X^k$ avec $(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) \in \R^n$.

    Or $\psi(P) ' = P= \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k \left( X^k +k (X-1) X^{k-1} \right)$

    Soit $\boxed{P=\displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k X^{k-1} \left( (k+1)X -k \right)}$

    La famille $( X^{k-1} \left( (k+1)X -k \right) )_{1 \leq k \leq n}$ est une famille échelonnée en degré et elle contient $n$ éléments. Mais on sait que la dimension du noyau de $\varphi$ est $n$, c'est donc une base de $\ker(\varphi)$
  • Question $4.1$ :
    $\boxed{\dim(H)= \dim(\R) \times \dim(R_n[X])=n+1}$

    Question $4.2$ :
    La famille $(\psi_k)_{0 \leq k \leq n}$ contient $n+1= \dim \R_n[X]$ éléments. Il suffit de montrer qu'elle est libre.

    Supposons que $\displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda_k \psi_k=0$

    Notons $P_k = X^k$. On a $\varphi_k(P_k) =\dfrac{k! }{k!}=1$

    De plus, si $i < k$ alors $\varphi_k(P_i)=0$ et si $i>k$ on a $\varphi_k(P_i)=0$

    En évaluant en $P_i$ on trouve $\displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda_k \delta_{ki}=0= \lambda_i$ la famille $(\psi_k)_{0 \leq k \leq n}$ est donc libre.

    Question $4.3$ :
    $\varphi$ est un élément de $H$ donc $\varphi = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \psi_k$

    Soit $i \in [|0,n|]$. On a $\varphi(P_i)=\dfrac{1}{i+1} = a_i$

    Finalement $\boxed{\varphi = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k+1} \psi_k}$

    Finalement la question la plus dure était la question 3.3 il fallait penser aux racines de $Q$.
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