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Suite formant une partie discrète et fermée

Bonjour,
Je bloque sur la deuxième question.
Toute aide serait la bienvenue.
Merci d'avance.127786

Réponses

  • Bonjour,

    Une façon de faire est de regarder le complémentaire de ton ensemble.
    Si la suite n'est pas majorée, alors elle tend vers l'infini. Écris alors explicitement le complémentaire de ton ensemble.
    Si la suite est majorée, alors elle converge. Regarde alors comment tu peux exploiter cette information.
  • Bonjour.

    Toute partie non vide majorée de $\mathbb R$ ....

    Cordialement.
  • Bonjour,
    Merci beaucoup pour les pistes proposées.
    Je pense avoir compris.

    Pour la démonstration de la condition nécessaire (en résumé) :
    Si (xn) n'est pas majorée elle diverge (vers l'infini).
    Le complémentaire de X est donc un ouvert en tant qu'union infinie d'ouverts (les intervalles ouverts ]xi,xi+1[).
    Donc X est fermée.

    Pour la démonstration de la condition suffisante, on passe par la contraposée.
    Si (xn) est majorée elle tend vers une limite l par convergence monotone.
    On raisonne par l'absurde : on suppose que l appartient à X.
    La définition de la convergence fait apparaître une contradiction avec le caractère discret de X.
    Donc l n'appartient pas à X.
    Par conséquent X n'est pas fermée.

    Merci de m'indiquer une éventuelle erreur de raisonnement.

    PS : il y a peut-être une solution plus simple en utilisant la propriété que toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure...
  • Bonjour,

    modulo le détail de "la définition de la convergence ...", c'est bon.
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