Équation différentielle du premier ordre

Bonjour à tous,
je souhaite résoudre l'équation différentiel suivante.
$$
y{'}(x)+a(x)y(x)=b(x).

$$ Pour cela on fait la somme de la solution homogène et d'une solution particulière.
En posant $\int^{x}_{x_{0}} a( x) dx=A( x) -A( x_{0}) $,
on obtient la solution de l'équation homogène. $y_h =y_{0}e^{A( x_{0})-A(x) }$. Aucun problème.

Par contre je veux maintenant utiliser la méthode de la variation de la constante pour trouver une solution particulière.
On pose : $y=k\left( x\right) e^{A( x_{0}) -A\left( x\right) } $ et on obtient : $k{'}\left( x\right) e^{A( x_{0}) -A( x) }=b\left( x\right) $ ?
On intègre ensuite $k{'}$ pour trouver $k\left( x\right) =\int^{x}_{x_{0}} e^{A( t) -A( x) }b( t) dt$

Ma question est la suivante.
Pourquoi $k(x)$ est une solution particulière, puis cela devrait être $y_{p}=k\left( x\right) e^{A( x) -A( x_{0}) }\quad ?$