Extension de corps

topopot · October 2021

Je m'interroge sur le passage que j'ai surligné en jaune en dessous.

Est-ce une vraie égalité ensembliste $\K(a)=\mathrm{Frac}(\K [ a])$ ou est-ce une égalité « à isomorphisme près » ?

Étant donnée la définition de la notion de corps de fractions, c'est selon moi une égalité à isomorphisme près, mais comme le cours ne le précise pas (alors qu'il le précise dans la suite de la propriété...). 127776

Paul Broussous · October 2021

Tu as raison ! On parle d'un corps des fractions d'un anneau commutatif intègre $A$, c'est-à-dire d'un corps $K$, muni d'un morphisme d'anneaux $i$ :$A\longrightarrow K$, qui vérifient les conditions habituelles. D'ailleurs ça n'est pas $K$, mais la paire $(K,i)$ qui est unique, à unique isomorphisme près (le corps $K$ peut avoir beaucoup d'automorphismes).

topopot · October 2021

Merci, un des rares trucs pas très propres de RDO du coup :-)

topopot · October 2021

Justement, disons qu'une extension d'un corps $\K$ est un couple $(\bf L$$,j)$ avec $j:\K\rightarrow\bf L$ un morphisme de corps.

Wikipédia dit alors la chose suivante : il existe un corps $\K'\supset\K$ et un isomorphisme de corps $f:\K'\rightarrow\bf L$ tel que $f_{|\K}=j$. J'ai l'impression que je passe à côte d'une banalité mais je n'arrive pas à le montrer.

Homo Topi · October 2021

De toute façon, tu fais de l'algèbre : c'est la structure qui t'intéresse, pas la présentation exacte des éléments. Il y a peu de constructions en algèbre qui soient de vraies égalités. Les isomorphismes font tout le travail.