Densité des décimaux
Bonjour à tous
Je souhaite une évaluation sur un raisonnement. Je veux démontrer que $ \mathbb{D}=\left\{
\frac{a}{10^{n}} \mid a \in \mathbb{Z} ,\ n \in \mathbb{N}
\right\} $ est dense dans $\mathbb{R}$, la démonstration classique donne que si on a $H$ sous-groupe additif de $\mathbb R$ et la borne inférieure de $K=H\bigcap\mathbb R^*_+$ est égale à $0$ alors $H$ est dense dans $\mathbb R $.
Ma démonstration donne que la borne inférieure de $D\bigcap\,]0,+\infty[\,=0$ donc $D$ dense dans $\mathbb R$, est-ce que c'est correct ? Existe-t-il une autre démonstration dans ce contexte de sous-groupes additifs ?
Merci.
Je souhaite une évaluation sur un raisonnement. Je veux démontrer que $ \mathbb{D}=\left\{
\frac{a}{10^{n}} \mid a \in \mathbb{Z} ,\ n \in \mathbb{N}
\right\} $ est dense dans $\mathbb{R}$, la démonstration classique donne que si on a $H$ sous-groupe additif de $\mathbb R$ et la borne inférieure de $K=H\bigcap\mathbb R^*_+$ est égale à $0$ alors $H$ est dense dans $\mathbb R $.
Ma démonstration donne que la borne inférieure de $D\bigcap\,]0,+\infty[\,=0$ donc $D$ dense dans $\mathbb R$, est-ce que c'est correct ? Existe-t-il une autre démonstration dans ce contexte de sous-groupes additifs ?
Merci.
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Réponses
Et comme tu as une caractérisation des sous-groupes denses à ta disposition, tu n'as qu'une démo possible utlisant cette unique caractérisation.
-- la suite $1/10^n$ tend vers $0$,
-- près de tout réel, il y a un entier relatif à distance plus petite que $1$.
On se donne $x\in \R$. Pour tout $n\in \N$, on choisir un entier relatif $a_n$ tel que $\vert 10^n x-a_n\vert \leqslant 1$. On a alors clairement que $\displaystyle ( \frac{a_n}{10^n}) \rightarrow x$.
Tout vient de l'ordre archimédien. D’abord tout intervalle $]0,\delta[$, $\delta>0$, contient un $\frac 1{10^n}, n \in \mathbb N$, et ensuite avec la fonction partie entière, tout intervalle $[a,b],a<b$, contient un $\frac c{10^n}$, $ c \in \mathbb Z, n \in \mathbb N$.