La limite et la norme

La prémisse étant fausse, les deux implications sont vraies.

Tel qu'écrit, la prémisse est toujours vraie et ne contient aucune information, il manque des $u$ dans les normes, sans quantification précise sur $u$ l'arrivée est toujours vraie car "$a\leq b$ ou $a\geq b$" est toujours vraie, bref on ne peut pas répondre autre chose que l'assertion est vraie.

Le problème de ton "ou" est que tu mélanges du français et des mathématiques, moi je lis ce qui est écrit, c'est-à-dire $P \Rightarrow (Q \ {\rm ou}\ R)$, alors que tu demandes probablement si $P \Rightarrow Q$ ou $P \Rightarrow R$ est vraie

En plus, il faudrait également une quantification sur $\lambda$ qui n'apparaît que réellement à droite (c'est une lettre muette à gauche).

Maintenant, avec une forte imagination corrective, j'ai du mal à entrevoir comment on pourrait imaginer le second cas.

C'est dingue, tu n'as toujours pas compris les objections qu'on te fait. Ta prémisse est toujours vraie, donc il te suffit de déterminer laquelle (s'il y en a bien une) des deux formules $$\forall u \in H

\|\left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\leq C\|u\|_{H}\ \lambda >0$$ et $$\forall u \in H \|\left(\lambda I-A\right)^{-1}u\|_{H}\geq C\|u\|_{H}$$ est vraie.

Maintenant on a un autre problème, c'est que c'est affreusement quantifié en $\lambda$ donc ça ne veut essentiellement rien dire en l'état.

Ça ne change absolument rien. Tu n'as pas l'air de te rendre compte que la $\limsup$ d'une famille non vide de réels positifs est toujours inférieure ou égale à $+\infty$.