Taux de variation et sens de variation
dans Analyse
Bonjour
J'aimerais utiliser la propriété suivante dans un exercice :
"$f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si pour tous réels distincts $a,b$ de $I$; $\tau(a;b)>0$, où $\tau(a;b)=(f(b)-f(a))/(b-a)$."
L'exercice étant de déterminer les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+5x$.
Je calcule donc le taux de variation avec $a$ et $b$ deux réels distincts et je trouve $\tau(a;b)=a+b+5$. Par la suite, je me demande comment obtenir l'intervalle $[-2,5;+\infty[$, intervalle où $f$ croît strictement.
J'ai commencé à tracer la droite $y=-x-5$ puis j'ai vu que $(-2,5;-2,5)$ était obtenu comme intersection de la droite précédente et de $y=x$. Mais je n'ai pas le raisonnement précis passant de "$\tau(a;b)=a+b+5$" à "$f$ strictement croissante sur $[-2,5;+\infty[$ et strictement décroissante sur $]-\infty;-2,5]$".
Pouvez-vous m'éclairer ?
Merci.
J'aimerais utiliser la propriété suivante dans un exercice :
"$f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si pour tous réels distincts $a,b$ de $I$; $\tau(a;b)>0$, où $\tau(a;b)=(f(b)-f(a))/(b-a)$."
L'exercice étant de déterminer les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+5x$.
Je calcule donc le taux de variation avec $a$ et $b$ deux réels distincts et je trouve $\tau(a;b)=a+b+5$. Par la suite, je me demande comment obtenir l'intervalle $[-2,5;+\infty[$, intervalle où $f$ croît strictement.
J'ai commencé à tracer la droite $y=-x-5$ puis j'ai vu que $(-2,5;-2,5)$ était obtenu comme intersection de la droite précédente et de $y=x$. Mais je n'ai pas le raisonnement précis passant de "$\tau(a;b)=a+b+5$" à "$f$ strictement croissante sur $[-2,5;+\infty[$ et strictement décroissante sur $]-\infty;-2,5]$".
Pouvez-vous m'éclairer ?
Merci.
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Réponses
C'était classique au siècle dernier jusque vers 1970, on le faisait en fin de seconde et en première avant l'introduction des dérivées. Le changement se fait quand a=b (idée intuitive : si b vaut presque a, on cherche le signe de 2a+5 environ). D'où le placement de a et b avant ou après 2,5.
Ensuite, c'est de la manipulation d'inégalités a>2,5, b>2,5, a ou b éventuellement égal à 2,5, donc ...
On peut sans doute transformer ce raisonnement heuristique en une preuve complétement mathématisée, c'est même immédiat avec la dérivée, mais quel intérêt ???
Cordialement.
Soit $(a,b)\in [-2.5, +\infty[^2$ distincts.
Alors $a+b+5>0$.
Par caractérisation, $f$ est strictement croissante sur $[-2.5,+\infty[$.
Essaye de faire la même chose sur l'autre intervalle...