Prolongement par continuité
Bonjour
Je ne comprends pas l'exercice qui suit. Je l'avais déjà lu il y a quelques jours plusieurs fois je n'avais pas compris.
Voici le contexte, je suis dans le cours sur les limites et la continuité. Soient $E$ et $F$ deux $\K$ espaces vectoriels normés.
Prolongement par continuité définition.
Si $f$ possède une limite $\ell \in F$ en un point $a \in \bar{A} \setminus A$ alors l'application $$\begin{array}[t]{cccl}
\tilde{f} :& A \cup \{a \}& \longrightarrow &F \\
& x &\longmapsto &\begin{cases} f(x) & \text{si} \ x \in A \\ \ell& \text{si} \ x=a \end {cases}
\end{array}
$$ est continue en en $a$, et s'appelle prolongement de $f$ par continuité en $a$.
Exercice (approfondissement).
Soit $X \subset A$ dense dans $A$ et $f : X \longrightarrow F$ une application continue en tout point de $X$. On suppose que $f$ admet une limite finie en tout point de $A \setminus X$.
Montrer que $f$ admet un prolongement $\tilde{f} : A \longrightarrow F$ continu en tout point de $A$.
Je ne comprends pas l'exercice qui suit. Je l'avais déjà lu il y a quelques jours plusieurs fois je n'avais pas compris.
Voici le contexte, je suis dans le cours sur les limites et la continuité. Soient $E$ et $F$ deux $\K$ espaces vectoriels normés.
Prolongement par continuité définition.
Si $f$ possède une limite $\ell \in F$ en un point $a \in \bar{A} \setminus A$ alors l'application $$\begin{array}[t]{cccl}
\tilde{f} :& A \cup \{a \}& \longrightarrow &F \\
& x &\longmapsto &\begin{cases} f(x) & \text{si} \ x \in A \\ \ell& \text{si} \ x=a \end {cases}
\end{array}
$$ est continue en en $a$, et s'appelle prolongement de $f$ par continuité en $a$.
Exercice (approfondissement).
Soit $X \subset A$ dense dans $A$ et $f : X \longrightarrow F$ une application continue en tout point de $X$. On suppose que $f$ admet une limite finie en tout point de $A \setminus X$.
Montrer que $f$ admet un prolongement $\tilde{f} : A \longrightarrow F$ continu en tout point de $A$.
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Réponses
Alors, qu'est ce que cela peut être une limite non finie?
Ma solution :
$f$ admet une limite en tout point de $X \setminus A$ donc $f$ est prolongeable par continuité donc son prolongement est continu.
@Bd2017
Bonne question. Je n'ai pas compris la différence entre la définition du prolongement par continuité sur $\R$ et dans un espace vectoriel normé.
Dans un espace vectoriel normé la limite au point où on veut prolonger ne doit plus être finie ?
Définition :
On dit que $f$ admet une limite en $a$ s'il existe $l \in F$ tel que $f \longrightarrow l$ en $a$. Cet unique élément $l$ s'appelle alors la limite de $f$ en $a$ et se note $\lim_a f$
$l$ peut-il être infini dans un espace vectoriel normé :-S
Tu as $X$ qui est dense dans $A$ et une application $f$ qui est définie et continue sur $X$. On te demande de montrer qu'il existe une fonction $\tilde{f}$ définie et continue sur $A$ qui "prolonge" $f$. Qu'est-ce que ça peut-y bien vouloir dire, ça, hm ?
a) Expliquer pourquoi $\tilde{f}$ prolonge $f$.
b) Soit $a\in A$ et $\varepsilon >0$.
Par définition, $\exists\delta>0\;\forall x\in X\quad\left\|x-a\right\|<\delta\Rightarrow\left\|f(x)-\tilde{f}(a)\right\|<\dfrac{\varepsilon}2$.
Montrer que $\forall x\in A\quad\left\|x-a\right\|<\delta\Rightarrow\left\|\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)\right\|<\varepsilon$.
J'ai une question :
Peux-t-on prolonger en $0$ la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ (définie sur $\R^*$) ?
La limite $l \in F$ dans le cours est-elle forcément finie ?
Ces deux questions m'empêchent de comprendre l'énoncé.
@Gain Requin
Merci mais je bloque sur la question $a$. Je ne vois pas qui est le $\bar{A} \backslash A$ du cours ici.
$X$ est dense dans $A$ donc $A \subset \bar{X}$.
Pour la question $b$ je n'ai pas encore cherché assez à voir.
Non car la limite au voisinage de $0$ est infinie.
Mais dans le cours de première année je comprends la définition du prolongement par continuité, pas dans le cours de MP. Pourquoi on ne précise pas si $l$ est finie ?
Dans ce cadre, en général si on dit que la limite est infinie cela veut dire que c'est ||f(x)|| qui tend vers l'infini.
Sais-tu dire autre chose que $A \subseteq \overline{X}$ à partir de "$X$ est dense dans $A$" ?
Vu que tu n'as pas réussi à répondre à la question que je t'ai posée, je te conseille d'abandonner rapidement cet exercice avant d'y consacrer plusieurs jours.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Répondre à d'autres questions, c'est donner la solution.
Non. D'ailleurs tu remarqueras qu'il est inscrit entre parenthèse juste au dessus de l'énoncé de l'exercice : 'approfondissement'.
Quand tu prolonges sur plusieurs points, tu sais par définition que f(y) tend vers f(x) si y est assez proche de x dans l'ensemble non prolongé. Mais tu ne sais rien sur la distance de f(x) à f(y) si y n'est pas dans l'ensemble de définition d'origine.
Soit $f$ définie sur $\R\setminus \Q$ par $f(x)=x$ pour tout $x\in \R\setminus \Q$.
On pose aussi $f(0)=0$.
Expliciter un prolongement de $f$ sur $\R$ tout entier qui ne soit pas continu en $0$.
1. Je ne lis même pas
2. C'est du chinois
3. Je ne vois pas le rapport avec l'exercice
4. Je ne vois pas pourquoi vous me posez des questions si compliquées alors que je bute déjà sur un exercice depuis plusieurs jours
5. Je ne comprends pas le corrigé
6. Je ne comprends pas le corrigé du corrigé par les membres du forum
7. Normal que je ne comprenne pas, le rapport du jury a dit que seuls 26,3% des candidats ont su répondre
8. Ah oui, quand je teste sur des exemples simples comme on me le dit ça marche
9. Je ne vois pas ce qu'il y a de faux dans ma démonstration
10. Je suis suffisamment fort puisque je suis certifié pour enfoncer des lycéens débutants qui posent des questions triviales pour moi ou juger de la pertinence d'un concours
Le stade "je résous l'exercice comme un grand sans tricher" étant de mesure nulle il n'est pas inclus.
OShine une question en passant : est-ce que $\bar{X}=A$ selon toi ?
Car si $A=] 0,1[$ et $X=[0, 1]$
JLapin il suffit de la prolonger en la fonction nulle sur les rationnels. Il y aura des sauts de continuité.
Gain Requin d'accord j'y réfléchis encore.
Mon livre utilise la caractérisation séquentielle j'ai regardé de loin mais sans lire vraiment.
Mais travailler avec les epsilon ne me dérange pas normalement.
La limite en $0$ par valeurs supérieures ou inférieures est infinie !
Tu réponds complètement à côté de la plaque aux deux questions que j'ai posées qui sont beaucoup beaucoup plus simples que l'énoncé initial...
Les photos de la correction ne vont pas tarder à arriver après plusieurs jours de brave galère...
Pourquoi aller chercher d'autres exos pour OShine ?
Le mieux, ce serait de lui proposer un exercice qu'il a lui-même posté ici il y a 2 ou 3 semaines. Tous ceux qui l'ont aidé vont immédiatement reconnaître l'exercice, mais on parie que pour OShine, ce sera un exercice totalement nouveau ? On parie que 2 ou 3 semaines plus tard, il sèchera à nouveau complètement sur l'exercice, comme au premier jour ?
JLapin ok j'ai mal lu, oui on peut prolonger en $0$ la fonction $x \mapsto 1/x$ définie sur $\R^{*}$.
Par exemple je peux la prolonger en la fonction : $$\begin{array}[t]{cccl} \tilde{f} :& \R^{*} \cup \{0 \}& \longrightarrow &\R \\ & x &\longmapsto &\begin{cases} 1/x & \text{si} \ x \in \R^{*} \\ 1 & \text{si} \ x=0 \end {cases} \end{array} $$
Évidemment qu'il sèchera sur les exos d'il y a un mois !
Mais j'avoue que j'avais un très vague espoir sur le prolongement de $1/x$ et sur l'exo suivant...
$$\begin{array}[t]{cccl} \tilde{g} :& (\R \backslash \Q) \cup \Q & \longrightarrow & \R \\ & x &\longmapsto &\begin{cases} x & \text{si} \ x \in R \backslash \Q \\ 0 & \text{si} \ x =0 \\ 5 & \text{si} \ x \in \Q^{*} \end {cases} \end{array} $$
$ \tilde{g}$ n'est pas continue en $0$.
Je pense que personne ne t'en voudra si tu quittes ce fil et que tu passes à autre chose.
Sauf si tu souhaites tenter de proposer une démonstration du fait que ta fonction $\tilde g$ n'est pas continue en $0$ ?
D'habitude tu dis que tu "connais ton cours par coeur". Les humains normaux pensent que tu parles de l'intégralité du cours quand tu dis ça. Forcément si tu n'apprends pas tout...
J'avais essayé de t'aiguiller sur la caractérisation séquentielle ici déjà. Avec ça et le travail pré-mâché par gai requin, ça aurait dû être déjà réglé...
Comme je ne comprends pas ton prolongement je ne peux pas suivre ton indication qui suit.
Le prolongement que je trouve est :
$$\boxed{\begin{array}[t]{cccl} \tilde{f} :& X \cup (A \backslash X) & \longrightarrow &F \\ & x &\longmapsto &\begin{cases} \lim\limits_{x} f(x) & \text{si} \ x \in X \\ \lim\limits_{x} f(x) & \text{si} \ x \in A \backslash X \end {cases} \end{array} }$$
Ce prolongement est bien défini car les limites de $f$ pour $x \in X$ et $x \in A \backslash X$ existent de part les hypothèses données.
Sans regarder la suite du corrigé, la première ligne dit : "montrons par caractérisation séquentielle, que $\tilde{f}$ est continue en tout point de $a$."
On prend une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ et on doit montrer que $\tilde{f} (x_n)$ tend vers $\tilde{f}(x)$.
> On prend une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ et
> on doit montrer que $\tilde{f} (x_n)$ tend vers
> $\tilde{f}(x)$.
Et tu bloques ici ?
C'est étonnant...
$\tilde{g}$ n'est pas continue en $0$ si et seulement si $\exists \varepsilon >0 \ \ \forall \eta >0 \ \exists x \in \R \ \ |x| \leq \eta \ \text{et} \ |f(x)| > \varepsilon$
Fixons $\eta >0 $ et $\varepsilon = \min \{ 5 , \eta/2 \} >0$
Soit $- \eta <x<\eta$. Si $\eta$ est rationnel, alors pour $x = \eta/2$ on a $|x| \leq \eta$ et $|f(x)|=5 > \varepsilon$
Si $\eta$ est irrationnel, alors toujours pour $x = \eta /2$, on a $|x| \leq \eta$ et $|f(x)|= \eta /2 > \varepsilon$
Homo Topi
Je n'ai rien compris au prolongement de Gai Requin mais j'ai trouvé un prolongement et celui du corrigé de mon livre ressemble au mien.
Mais à avoir la longueur du corrigé du livre et la technicité, cet exercice me semble infaisable pour moi et pour une grande majorité des gens.
Mais si tu as besoin de faire cette gymnastique mentale pour te persuader que c'est normal que tu n'y arrives pas... pourquoi avoir essayé cet exercice ?
Mais je n'ai pas réussi a trouver un epsilon qui ne dépend pas de eta.
L'énoncé dit que cette limite existe pour $a\in A\setminus X$.
Si $a\in X$, cette limite vaut $f(a)$ par continuité de $f$, ce qui prouve au passage que $\tilde f$ prolonge $f$.
Tu peux passer à ma question b) qui se rédige en trois lignes !
C'est bizarre car le corrigé de mon livre fait 15 lignes minimum. Pourquoi ils n'ont pas choisi la méthode élémentaire ?
Soit $\varepsilon >0$ et $a \in A$. Il existe $\delta >0$ tel que $\forall x \in X$, $||x-a|| \leq \delta \implies ||f(x)-\tilde{f}(a)|| < \varepsilon /2$
Soit $x \in A$ tel que $||x-a|| \leq \delta$.
On a $||\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)||= ||\tilde{f}(x)- f(x) + f(x)- \tilde{f}(a)||$
D'après l'inégalité triangulaire, $||\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)|| \leq||\tilde{f}(x)-f(x)|| +||f(x)-\tilde{f}(a)||$
Donc $||\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)|| \leq ||\tilde{f}(x)-f(x)|| + \dfrac{\varepsilon}{2}$
Je bloque ici car je n'arrive pas à expliciter $ ||\tilde{f}(x)-f(x)|| $
Et il faut peut-être utiliser la densité de $X$ dans $A$ à un moment donné...
Il me semble plus simple de raisonner par caractérisation séquentielle.
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n =1/n \longrightarrow 0$ on a $\tilde{g} (u_n)=5$ et la suite $(v_n)$ définie par $v_n=0$ on a $\tilde{g} (v_n)=0$
Comme $0 \ne 5$ alors $\tilde{g}$ n'est pas continue en $0$.
Gai Requin
$X$ est dense dans $A$ donc $\forall a \in A \ \ \exists y \in X \ \ ||a-x|| \leq \varepsilon$. Mais je ne vois pas comment l'utiliser. Je bloque toujours avec le $||\tilde{f} (x)- f(x) ||$.
Pour le contre-exemple, on prend $X=\{0 \}$ et $A= \R$. On a bien $X \subset A$ l'adhérence de $X$ ne contient pas $A$.
Ainsi, $\{0 \}$ n'est pas dense dans $\R$.
Soit $f$ définie sur $X$.
Soit $f(x)= 1$ si $x=0$ et on suppose que $f$ admet une limite finie égale à $1$ en tout point de $\R^{*}$.
$f$ admet un prolongement qui n'est pas continu en tout point de $A$, en effet, ce prolongement n'est pas continu en $0$.
$X$ est dense dans $A$ donc il existe une suite $(x_n)$ de $X$ telle que $\lim x_n=x$.
En particulier, il existe $n_0\in\N$ tel que, pour tout entier $n\geq n_0$, $\left\|x_n-a\right\|<\delta$ ce qui implique $\left\|f(x_n)-\tilde f(a)\right\|< \dfrac{\varepsilon}2$. $(*)$
Or, $\lim f(x_n)=\tilde f(x)$ donc, en faisant tendre $n\to +\infty$ dans $(*)$, il vient $\left\|\tilde f(x)-\tilde f(a)\right\|\leq \dfrac{\varepsilon}2<\varepsilon$.