Les groupes $\mathcal D_8$ et $\Bbb H_8$

sdoula · October 2021

Bonjour,
sachant que les groupes quaternion $\mathbb H_{8}$ et le groupe $\mathcal D_{8}$ sont non abélien d'ordre 8 ; comment prouver que ces 2 groupes ne sont pas isomorphes ?
Merci.

AD · October 2021

Bonsoir Sdoula
Comment définis-tu $\mathbb H_8$ et $\mathcal D_8$ ?
Alain

Math Coss · October 2021

Une façon naïve mais pénible à mettre en place consiste à comparer les tables de multiplication – je ne la recommanderais pas.
Une autre un peu moins laborieuse consiste à compter les éléments de chaque ordre.
Une troisième, c'est de déterminer les sous-groupes et distinguer ceux qui sont distingués. On peut aussi chercher les automorphismes.
Ou encore réaliser « la » représentation de degré deux et en calculer les endomorphismes.

nicolas.patrois · October 2021

Oui, habituellement $\mathcal D_{8}$ a 16 éléments et non 8 sauf chez Smith en face.

leloucan · May 2022

Alain a raison, il faut voir d'abord comment tu définis tes deux groupes

Poirot · May 2022

On voit facilement que dans $\mathbb H_8$ il y a un seul élément dont le carré vaut le neutre, tandis que dans $\mathcal D_4$ il y a cinq éléments de carré le neutre.