Polynôme de Z[X]

La réponse est non à cause des relations coefficients racines.
Essaye de le prouver.

Edit : modifie ton message pour dire qu'un entier naturel non nul $n$ est fixé et qu'on cherche des polynômes unitaires.

Sinon, tous les polynômes de la forme $a(X-1)^n$ où $a$ décrit $\Z^*$...

Ou $X^n$.

Les polynômes de la forme $P_n(x)=x^n-x^{n-1}-x^{n-2}-x^{n-3}+1$ avec $n\geq 4$, forment un ensemble infini et, sauf erreur, ils ont tous une racine comprise dans l'intervalle $]0,1[$.

PS:
J'ai mal lu l'énoncé:
Considérons plutôt:
$Q_n(x)=x^4-x^3-x^2-nx+1$ avec $n\geq 1$ un entier.
C'est un ensemble infini de polynômes de degré $4$ et chacun de ces polynômes a une racine dans l'intervalle $]0,1[$.

JLapin:
J'ai modifié mon message (j'espère que je ne suis pas allé trop vite)

PS:
Ce n'est pas une seule racine mais toutes les racines donc mon nouvel exemple est encore à côté de la plaque. Désolé pour le dérangement. :-D

Montrons qu'un polynôme qui a toutes ses racines dans l'intervalle $]0,1[$ ne peut pas avoir tous ses coefficients entiers.

Tout polynôme $P(x)=x^n+....$ peut s'écrire $P(x)=(x-x_1)....(x-x_n)$ avec $x_1,...x_n$ ses $n$ racines (qui ne sont pas nécessairement distinctes)

Supposons que tous les coefficients de $P$ soient entiers.
$P(1)$ est un entier non nul.

$P(1)=(1-x_1)...(1-x_n)$ ne peut pas être un entier, les $1-x_i$ sont des nombres positifs plus petits que $1$ mais non nuls.

En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.

PS:
Prendre la valeur de $P$ en $0$ est plus simple que de prendre la valeur en $1$. :-D
(Merci à Badrino)

Badrino:

Oui bien sûr mais j'ai l'impression qu'on peut suivre une voie analogue dans le cas où les racines sont toutes de module inférieur ou égal à $1$.

Il me semble qu'on peut majorer $\left|1-r\text{e}^{it}\right|$ quand $0< r\leq 1$ et $t\in \mathbb{R}$.
(pas bestialement s'entend).

PS:
Cela ne marche pas, ces nombres n'ont aucune raison d'être tous inférieurs à $1$.

Autre tentative :

$P(x)=x^n-x=x ( x^{n-1} - 1)$.

Celui là est bien de degré $n$, est unitaire et ses éventuelles racines autres que 0 ont un module de 1 car racines $n$ièmes de l'unité.

À bientôt.

Dreamer:

Tu fais la même erreur que moi.

L'énoncé précise que tous les polynômes de cette famille infinie ont tous le même degré.
Si on enlève une de ces hypothèses cela devient faux.