Translation (exposition Borel)

Bonjour

Soit $f$ une fonction continue de $\R^2$ dans $\R^2$ telle que pour tout $a$ et tout $b \in \R^2$, on a $d\big(a,f(a)\big)=d\big(b,f(b)\big)$, où $d$ est la distance euclidienne du plan. C'est-à-dire que la distance d'un point à son image par $f$ est constante. Il me semble que $f$ n'est pas nécessairement une translation.

En effet, soit $D$ la droite $x=0$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x,y)=(x-1,y)$ si $x\geq 1$, $f(x,y)=(x+1,y)$ si $x \leq -1$, et si $-1<x<1$, soit $C$ le cercle de centre $(x,y)$ et de rayon $1$, il rencontre alors $D$ en deux points $a=(x_a,y_a)$ et $b=(x_b,y_b)$ tels que $y_a>y_b$, on définit alors $f(x,y)=a$. Alors $f$ vérifie bien $d\big(m,f(m)\big)=1$ pour tout point $m$ du plan et est continue.

Si on suppose $f$ différentiable en tout point du plan, est-ce qu'alors $f$ est nécessairement une translation ?

Merci d'avance.