Vrai ou faux et groupes abéliens (G.Berhuy)

ludo'
ludo'
dans Algèbre
Bonjour
Je souhaiterais connaître la réponse à la question 1 car si $e_1, \ldots,e_n$ désignent une base de $L$ alors le morphisme de groupes qui fait correspondre les $e_i$ aux $a_i$ est évidemment surjectif de $L$ sur le groupe mentionné mais est-il bijectif ?

Cela interroge sur la nature libre ou non de la famille des $a_i$ ...

De manière plus générale les générateurs d'une présentation d'un groupe en sont-ils une base c'est-à-dire une famille libre et génératrice ? (intuitivement je pense que non à cause des relations pouvant exister entre eux mais je n'ai pas de justification puisée dans la littérature).
Merci de prendre le temps de me répondre.127784

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    Pour la question (1) la réponse est "Vrai". Il faut considérer le morphisme de $\langle a_1,...,a_n\rangle$ dans $L$ qui envoie $a_i$ sur $e_i$ pour tout $i\in [\![1,n]\!]$ et montrer qu'il se factorise en un isomorphisme de $\langle a_1,...,a_n\mid a_ia_j=a_ja_i \text{ pour tout } i<j \rangle$ dans $L$.

    Pour ta deuxième question il suffit de considérer le groupe abélien $G:=\langle a,b\mid a=b \rangle$, il est évident que $(a,b)$ n'est pas une base dans $G$.
  • ludo'
    ludo'
    Bonjour Raoul.S,

    Deux questions:
    1°) Où vivent les générateurs $a_i$ ?Dans le groupe libre sur $ \left\{ a_1,...,a_n \right\}$ ? Ce n'est en fait pas très limpide à mes yeux...

    2°) Comment définir un morphisme de groupe par les images d'une famille "seulement" génératrice ?

    Merci pour tes contributions:-)
  • Poirot
    Poirot
    Par définition, en notant $F_n$ le groupe libre sur $n$ générateurs $b_1, \dots, b_n$, le groupe présenté par générateurs et relations $\langle a_1, \dots, a_n \mid R\, \rangle$ est le quotient $F_n/N(R)$ où $N(R)$ est le sous-groupe distingué de $F_n$ engendré par $R$. Les $a_i$ sont les images des $b_i$ dans le quotient.

    Ici, il est facile de voir que $N(R) = D(F_n)$, le sous-groupe dérivé de $F_n$ et donc $\langle a_1, \dots, a_n \mid a_ia_j=a_ja_i,\ i < j \rangle$ est l'abélianisé de $F_n$. Il s'agit clairement de $\mathbb Z^n$ puisque c'est un groupe abélien libre possédant une famille de $n$ générateurs, et tout tel groupe est un quotient de $\mathbb Z^n$.
  • raoul.S
    raoul.S
    ludò je réponds à tes questions :

    1) voir le premier paragraphe de la réponse de Poirot qui distingue mieux éléments du groupe libre et éléments du quotient.

    2) Tu peux définir ton morphisme ainsi car ça découle de la propriété universelle des groupes libres, voir première phrase ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_libre
  • ludo'
    ludo'
    Bonjour Poirot,

    Je vais tenter de "digérer" également ton apport mais (au moins) un point de ton argumentation demeure nébuleux à mes yeux tel que je l'interprète:

    "Il s'agit clairement de $\mathbb Z^n$ puisque c'est un groupe abélien libre possédant une famille de n générateurs"

    $\mathbb Z$ est abélien libre (de rang 1) admettant des familles génératrices à deux éléments (premiers entre eux) : là encore - et c'est sans doute une pure trivialité - je ne vois pas dans ton argument comment des générateurs peuvent donner un résultat réservé aux familles libres ...

    Quant à la possibilité de définir un morphisme sur une famille seulement génératrice, je reste interloqué:-S

    Néanmoins, merci pour ta contribution et au plaisir de lire tes éclaircissements ultérieurs
  • ludo'
    ludo'
    @Raoul.S: je n'avais pas vu ta réponse.

    Ok donc pour la propriété universelle et la définition du morphisme sur une famille libre qui y est évoquée (dans le livre "Algèbre le grand combat "que je consulte et dans lequel j'apprends à domestiquer les groupes libres il est posé qu'un groupe libre sur X est un groupe possédant une base équipotente à X").

    Si j'ai bien compris le morphisme est bien défini sur une famille libre.

    Encore merci pour ta réponse
  • ludo'
    ludo'
    Après relecture attentive de vos messages et de mon cours, je pense avoir saisi l'argument. Merci à vous deux (tu)
  • Poirot
    Poirot
    Je détaille mon argument. $\mathbb Z^n$ est un groupe abélien libre à $n$ générateurs (ça je pense que c'est clair), donc c'est un quotient abélien de $F_n$. Je rappelle la propriété universelle de l'abélianisé d'un groupe quelconque $G$ : c'est le plus grand quotient abélien de $G$, au sens où pour tout sous-groupe distingué $H$ de $G$, $G/H$ est abélien si et seulement si $H$ contient $D(G)$ (et alors $G/H$ est un quotient de $G/D(G)$).

    $\mathbb Z^n$ est effectivement l'abélianisé de $F_n$ puisque c'est "le plus grand" groupe abélien possédant $n$ générateurs (ces groupes étant précisément les quotients abéliens de $F_n$) : si $A$ est un tel groupe avec un système générateur $g_1, \dots, g_n$, alors l'application qui envoie le $i$-ème élément de la base canonique de $\mathbb Z^n$ sur $g_i$ définit clairement un morphisme de groupes surjectif.
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