Mini hypothèse de Riemann

Boécien
Boécien
dans Analyse
Vraiment mini ! Soient $a,b,c$ des nombres réels avec $c\neq0$ tels qu'il existe au moins un $z\in\mathbb{C}$ vérifiant
$$
-\frac{a}{z}+\frac{b}{1-z}+\frac{c}{2-z}+\frac{1}{3-z}=-\frac{a}{1-z}+\frac{b}{z}+\frac{c}{1+z}+\frac{1}{2+z}=0.

$$ J'en entends qui disent que si un $z$ vérifiant cette égalité est non réel alors il est forcément de la forme $\frac{1}{2}+iy$ avec $y$ réel. Mais pour moi rien d'évident, je bloque comme O Shine. Je ne me sors pas des encombrantes écritures des racines des polynômes de degré 3 qui apparaissent. Y a-t-il plus intelligent que le bourrinage ?

Réponses

  • nimajneb
    nimajneb
    Je note $S$ l'ensemble des solutions de ta double équation.
    L'ensemble $S$ est invariant sous l'action de $z \mapsto 1-z$ (les deux équations sont échangées), et sous l'action de $z \mapsto \overline z$.
    De plus, $S$ est contenu dans les racines d'un polynôme de degré $3$. Donc $S$ est de cardinal au plus $3$.
    S'il existe un élément $z \in S$ qui n'est pas sur la droite de partie réelle $\frac 1 2$, ni sur la droite réelle, cela signifie que les complexes $z,\overline z, 1-z$ et $1-\overline z$ sont tous distincts. Mais ils sont tous dans $S$, absurde.
  • Sylvain
    Sylvain
    Le bonheur de lire ça un dimanche matin ! Merci nimajneb.
  • Boécien
    Boécien
    Merci nimajneb, c'est ça qui fait la beauté des math, c'est simple quand on pense bien!
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    C'est vraiment fort.
    C'est le genre d'idée pour lesquelles j'aimerais savoir si elles viennent de réflexes classiques ou vraiment d'une inspiration particulière.
  • bisam
    bisam
    On est d'accord que la condition $c\neq 0$ ne sert à rien ?
    En revanche, l'utilisation de la condition d'existence d'une solution a été subtilement cachée par nimajneb.
  • nimajneb
    nimajneb
    @RLC : C'est une idée générale quand on regarde les racines d'un polynôme, de trouver un groupe qui agit dessus : on peut penser à la théorie de Galois.
    Ici, la conjugaison est visiblement la bienvenue. Pour l'autre, c'est le titre du sujet qui m'a aiguillé : la transformation $s \mapsto 1-s$ est celle qu'on utilise pour prouver l'existence du prolongement de zeta à $\mathbf C$.
  • Boécien
    Boécien
    Oui Bisam la condition c non nul est superflue.
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