L'ordre d'un groupe

Par définition de $x$, aucun des $x^{a},x^{2a},x^{3a},...,x^{(b-1)a}$ n'est égal à l'élément neutre du groupe tandis que si $e$ est l'élément neutre on a $x^{k}=x^{ab}=e$ (par définition de $x$). Donc $x^a$ est d'ordre $b$.

NB:
Si $k$ est l'ordre de $x$ cela signifie qu'aucun des $x,x^2,...,x^{k-1}$ n'est égal à l'élément neutre du groupe et réciproquement si aucun des $x,x^2,...,x^{k-1}$ n'est égal à l'élément du groupe et que $x^k$ est égal à l'élément neutre cela signifie que $k$ est l'ordre de $x$.

PS:
$x^{am}=(x^a)^m$

Badrino:

Si ce diviseur est un nombre premier $p$ on peut trouver un élément d'ordre $p$.

Mais si la question est: soit $d$ un entier naturel non nul qui divise l'entier naturel non nul $n$ existe-t-il toujours un élément d'ordre $d$ dans un groupe d'ordre $n$?
La réponse est non.

Badrino: si le groupe est cyclique on a bien l'existence d'un élément d'ordre un diviseur de l'ordre du groupe.

Ton erreur est que si on a $a^d=e$ on ne peut pas en déduire que $d$ est l'ordre de $a$ mais seulement que l'ordre de $a$ divise $d$.

Badrino : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316768#msg-2316768
Oui c'est un très bon exercice pour mieux apréhender $\mathfrak S_4$.

Un exemple plus petit est le groupe $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ qui est d'ordre $4$, formé d'un élément d'ordre $1$ : le neutre $(0,0)$ et de trois éléments d'ordre $2$ : $(1,0),\ (0,1),\ (1,1)$, donc pas d'élément d'ordre $4$, et pourtant $4$ divise l'ordre du groupe.
En revanche, comme l'indique FdP, on montre qu'un groupe d'ordre $n$ qui admet un élément $a$ d'ordre $n$ est cyclique isomorphe à $\Z/n\Z$, et que pour tout diviseur $d$ de $n$ l'élément $a^{n/d}$ est d'ordre $d$.
Alain

Badrino. Ce que tu as écrit au départ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316742#msg-2316742 est correct.
Tu supposes l'existence d'un élémént $x$ d'ordre $k$ (ce qui est faux pour un groupe en général${}^1$) alors si $k=a\times b$, tu peux en effet toujours trouver un élément d'ordre $b$.
Le message de FdP qui suit http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316750#msg-2316750 en fait la démonstration.
Alain

${}^1$ Sauf si, comme indiqué par FdP http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316756#msg-2316756, $k$ est un nombre premier divisant l'ordre de $G$ (théorème de Cauchy).