Polynômes réels positifs
Un résultat classique qu'on voit généralement en MPSI demande de montrer que pour tout $P\in\R[X]$, les assertions suivantes sont équivalentes :
1) $\forall x\in\R\quad P(x)\geqslant 0$.
2) $\exists (A,B)\in\R[X]^2\quad P=A^2+B^2$.
Je sais le montrer d'une certaine façon mais j'ai vu une potentielle autre résolution (pour le sens non trivial 1) $\implies$ 2)) qui suggère les trois questions ci-dessous (cf. capture d'écran).
Pour les deux premières questions, pas de problème. Mais pour la c) je ne vois pas.
1) $\forall x\in\R\quad P(x)\geqslant 0$.
2) $\exists (A,B)\in\R[X]^2\quad P=A^2+B^2$.
Je sais le montrer d'une certaine façon mais j'ai vu une potentielle autre résolution (pour le sens non trivial 1) $\implies$ 2)) qui suggère les trois questions ci-dessous (cf. capture d'écran).
Pour les deux premières questions, pas de problème. Mais pour la c) je ne vois pas.
Réponses
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Bonjour,
une question pour t'aider : quels sont les polynômes irréductibles de $\R[X]$ ?
Ensuite utilises le fait que tu peux décomposer tout polynôme de $\R[X]$ en produit de polynômes irréductibles. -
Bonjour,
Le théorème fondamental des mathématiques "La 2ème question vient après la 1ère" possède de mutiples corollaires.
Cordialement,
Rescassol -
C'est bon en fait c'était le coefficient dominant de $P$ dans la décomposition qui m'emmerdait.
Les polynômes irréductibles réels sont ceux de degré $1$ et de degré $2$ sans racine réelle (de discriminant strictement négatif).
Tout polynôme non nul réel peut s'écrire $P=a\prod_i (X-\alpha_i)^{k_i}\prod_j (X^2-\beta_j X+\gamma_j)^{l_j}$ avec $a\neq 0, \alpha_i$ les racines réelles de $P$ d'ordre $k_i\in\N^*$, $\beta_j^2-4\gamma_j\in\R_{-}^*$, $l_j\in\N^*$.
Comme $P$ est positif, $a\in\R_+^*$ (prendre l'équivalent de la fonction polynomiale en $+\infty$).
Une étude de signe au voisinage de $a$ montre que chaque $k_i\in 2\N$.
On en déduit que par stabilité par produit que $\prod_i (X-\alpha_i)^{k_i}\prod_j (X^2-\beta_j X+\gamma_j)^{l_j}$ est somme de deux carrés de $\R[X]$, donc de la forme $A^2+B^2$.
D'où $P=(\sqrt{a}A)^2+(\sqrt{a}B)^2$.
Sauf erreur. -
Bonjour,
T'es sûr de ça: $\beta_j^2-4\gamma_j\in\R_{+}^*$ ?
Cordialement,
Rescassol -
En effet, erreur d'étourderie. Lire strictement NÉGATIF.
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Être strictement positif ou appartenir à $\R_+^\ast$, c'est la même chose !
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J'ai réédité ! Décidément, le fait d'être sur un clavier qwerty sans touche directe "inférieur strict" ou "supérieur strict" me fait prendre des détours qui me font dire n'importe quoi.
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Ce problème a été posé à la compétition Putnam 1999 problème A2
Putnam 1999 problème A2
Cet exercice est devenu un classique en prépas et même dans les oraux de concours.
prolongement possible -
Ce problème des polynômes réels positifs est en effet on ne peut plus classique. On le trouve par exemple dans le recueil d'exercices d'algèbre de Faddéev et Sominski, de...1972 ! Je suis fort surpris que le concours Putnam de 1999 ait posé une question aussi archi-connue. Comme quoi dans la vie tout est possible...
On en a parlé sur ce forum. Je donnerai tantôt des références plus précises.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Bonsoir,
Oui, je le posais en khôlle il y a au moins 30 ans.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Je connaissais la démonstration donnée par le biais de cet exercice, mais je me demande donc quelle était l'autre démonstration connue par topopot.
Merci d'avance ! -
Cela devient moins classique si l'on cherche la forme des polynômes qui sont positifs sur $\R^+$, ou encore ceux qui sont positifs sur $[0,1]$.
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@Inversion
Avec la factorisation dans $\C[X]$, tu peux en déduire l'existence d'un polynôme complexe $Q$ tel que $P=Q\overline{Q}$ et conclure rapidement avec les parties réelles et imaginaires de $Q$. -
Pour le problème initial, je vais peut-être répéter, mais il y a deux solutions : celle qui consiste à considérer les racines complexes, et celle qui utilise le fait (vrai dans tout anneau commutatif) que le produit de deux sommes de deux carrés est une somme de deux carrés (identité de Fibonacci). Cette seconde démonstration ne sort pas de $\mathbb R$.
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Quelques références du forum, y compris sur les « semi-positifs » :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1274009,1274121#msg-1274121 22/05/2016
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1485994,1486510#msg-1486510 26/06/2017
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1485994,1486688#msg-1486688 27/07/2017
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