Intégrale elliptique de première espèce
Bonjour tout le monde,
si je note, pour $k$ réel dans $]0,1[$ :
$$ K(k)=\int_{0}^{\frac \pi 2} \frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2(t)}},
$$ alors on devrait pouvoir montrer l'identité suivante, en notant $k'$ le conjugué de $k$ (i.e. : $k^2+k'^2=1$) :
$$\frac{2}{1+k'} K \left ( \frac{1-k'}{1+k'} \right) = K(k) .
$$ Connaissez-vous une preuve qui n'utilise pas le développement en série de $K$ ?
Merci d'avance !
si je note, pour $k$ réel dans $]0,1[$ :
$$ K(k)=\int_{0}^{\frac \pi 2} \frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2(t)}},
$$ alors on devrait pouvoir montrer l'identité suivante, en notant $k'$ le conjugué de $k$ (i.e. : $k^2+k'^2=1$) :
$$\frac{2}{1+k'} K \left ( \frac{1-k'}{1+k'} \right) = K(k) .
$$ Connaissez-vous une preuve qui n'utilise pas le développement en série de $K$ ?
Merci d'avance !
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Réponses
On exprime $k^\prime$ en fonction de $k$ et on se retrouve avec une égalité fonctionnelle et on a envie de faire un calcul de dérivée.
NB:
$\displaystyle K(0)=\dfrac{\pi}{2}$
e.v.
En cherchant un peu, j'ai trouvé qu'en notant $D=k \frac{d}{dk}$, on a :
$$D^2 \cdot K= k^2 (D+1)^2 K.
$$ Je faisais tout cela pour calculer $K\left ( \frac 1 {\sqrt 2} \right)$ avec la moyenne arithmético-géométrique de $1$ et $\frac{1}{\sqrt 2}$, et la longueur du lemniscate.