Quotient de fonctions localement bornées
dans Analyse
Bonjour à tous/toutes !
Je dois déterminer si la proposition suivante est vraie ou fausse.
Si f et g sont deux fonctions (dont le domaine est R* et le codomaine est R) localement bornées en 0, alors leur quotient f/g est localement borné en 0.
Est-ce que quelqu'un sait si la proposition est vraie ou fausse ? Et dans ce cas comment la prouver/infirmer ?
Merci !
Je dois déterminer si la proposition suivante est vraie ou fausse.
Si f et g sont deux fonctions (dont le domaine est R* et le codomaine est R) localement bornées en 0, alors leur quotient f/g est localement borné en 0.
Est-ce que quelqu'un sait si la proposition est vraie ou fausse ? Et dans ce cas comment la prouver/infirmer ?
Merci !
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Réponses
Je pense qu'elle n'est pas localement bornée en 0.
Mais je ne vois pas trop à quoi ça me sert.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Ah, je viens de comprendre.
Comment peux-je montrer formellement que 1/x n'est pas localement bornée en 0 pour que ça puisse me servir de contre-exemple ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Je vois pourquoi la fonction inverse contredit la définition, mais je n'arrive toujours pas à le démontrer formellement...
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Cordialement.
Au passage, la fonction étant de classe $C^1$ sur son domaine de définition, elle est même localement lipschitzienne (ce qui se voit à la main).
En revanche, en la modifiant un peu, c'est-à-dire en prenant au dénominateur une fonction $g$ telle que $g(x)=x$ pour $x\not=0$ et $g(0)=1$, je suis d'accord que $1/g$ sera un contre-exemple.
Cordialement.