Inégalité de convexité
Bonjour
Il s'agit de prouver :
$$(a+b+c)^p \leq 3^p (a^p+b^p+c^p), \qquad a,b,c \geq 0.
$$ Cette égalité est utile dans le contexte des équations différentielles stochastiques.
$\begin{align*}
\Big(\dfrac{a+b+c}3 \Big)^p &\leq \max(a,b,c)^p \\
& \leq a^p + b^p +c ^p \\
\left(a+b+ c\right)^p & \leq 3 ^p (a^p + b^p +c ^p )
\end{align*}$
La démonstration me paraît correcte. Est-ce le cas ? Merci.
Il s'agit de prouver :
$$(a+b+c)^p \leq 3^p (a^p+b^p+c^p), \qquad a,b,c \geq 0.
$$ Cette égalité est utile dans le contexte des équations différentielles stochastiques.
$\begin{align*}
\Big(\dfrac{a+b+c}3 \Big)^p &\leq \max(a,b,c)^p \\
& \leq a^p + b^p +c ^p \\
\left(a+b+ c\right)^p & \leq 3 ^p (a^p + b^p +c ^p )
\end{align*}$
La démonstration me paraît correcte. Est-ce le cas ? Merci.
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Réponses
Pour $p\geq 1$, $\quad\displaystyle {a+b+c\over 3}\leq \Big({a^p+b^p+c^p\over 3}\Big)^{1/p}.$
On gagne un facteur $3.$
La véritable inégalité de convexité, c'est celle qui a été rappelée par YvesM, qui repose sur la convexité de la fonction $x\mapsto x^p$ pour $p \ge 1$, avec condition de l’égalité pour $p>1$.
En fait, il s'agit de la moyenne d'ordre $ p$ : $\mathfrak{M}_p(a,b,c)=({a^p+b^p+c^p\over 3})^{1/p}$. La fonction $p \mapsto \mathfrak{M}_p(a,b,c)$, dûment prolongée en $0$, est croissante sur $\mathbb R$, strictement si $a,b,c$ ne sont pas tous égaux.
Disons plutôt qu'il s'agit d'un corollaire de l'inégalité de Hölder, corollaire qui se généralise sous la forme
$$\left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^{\lambda} \leqslant \max(n^{\lambda-1},1) \sum_{k=1}^n a_k^\lambda$$
où $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ et $a_1,\dotsc,a_n , \lambda > 0$.