Inégalité de convexité

zestiria
zestiria
dans Analyse
Bonjour
Il s'agit de prouver :
$$(a+b+c)^p \leq 3^p (a^p+b^p+c^p), \qquad a,b,c \geq 0.

$$ Cette égalité est utile dans le contexte des équations différentielles stochastiques.

$\begin{align*}
\Big(\dfrac{a+b+c}3 \Big)^p &\leq \max(a,b,c)^p \\
& \leq a^p + b^p +c ^p \\
\left(a+b+ c\right)^p & \leq 3 ^p (a^p + b^p +c ^p )
\end{align*}$

La démonstration me paraît correcte. Est-ce le cas ? Merci.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Oui.
  • zestiria
    zestiria
    Merci. C’est typiquement des explications qui sont omises dans les corrections, car jugées trop élémentaires.
  • Poirot
    Poirot
    Une autre rédaction équivalente : $(a+b+c)^p \leq (3 \max(a,b,c))^p = 3^p \max(a,b,c) \leq 3^p(a^p+b^p+c^p)$.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour

    Pour $p\geq 1$, $\quad\displaystyle {a+b+c\over 3}\leq \Big({a^p+b^p+c^p\over 3}\Big)^{1/p}.$

    On gagne un facteur $3.$
  • Chaurien
    Chaurien
    Pour l'inégalité proposée initialement, il faudrait dire qui est $p$. Les démonstrations de cette inégalité qui ont été données ci-dessus valent pour $p$ réel positif. L'inégalité est encore vraie pour $p$ réel négatif, en supposant $a,b,c>0$ : dans la démonstration on remplace $\max$ par $\min$. Mais contrairement au titre du fil, il ne s’agit pas du tout d'une « inégalité de convexité ». C'est plutôt, pourrait-on dire, une inégalité de trivialité (:D.
    La véritable inégalité de convexité, c'est celle qui a été rappelée par YvesM, qui repose sur la convexité de la fonction $x\mapsto x^p$ pour $p \ge 1$, avec condition de l’égalité pour $p>1$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Prolongeant le propos de YvesM, disons que si $a,b,c>0$ et $p < 1$, alors : $ {a+b+c\over 3} \ge ({a^p+b^p+c^p\over 3})^{1/p}$, pour des raisons de convexité/concavité, monotonie de la fonction $x\mapsto x^p$.
    En fait, il s'agit de la moyenne d'ordre $ p$ : $\mathfrak{M}_p(a,b,c)=({a^p+b^p+c^p\over 3})^{1/p}$. La fonction $p \mapsto \mathfrak{M}_p(a,b,c)$, dûment prolongée en $0$, est croissante sur $\mathbb R$, strictement si $a,b,c$ ne sont pas tous égaux.
  • noix de totos
    noix de totos
    "Inégalité de trivialité", c'est peut-être un tantinet exagéré, me semble-t-il.

    Disons plutôt qu'il s'agit d'un corollaire de l'inégalité de Hölder, corollaire qui se généralise sous la forme
    $$\left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^{\lambda} \leqslant \max(n^{\lambda-1},1) \sum_{k=1}^n a_k^\lambda$$
    où $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ et $a_1,\dotsc,a_n , \lambda > 0$.
  • zestiria
    zestiria
    En tout cas, c'est une inégalité utile pour l'étude des équations différentielles stochastiques.
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