Polynôme irréductible (pour en finir)
Soient $\K$ un corps et $P\in \K[X]$.
1) Pouvez-vous me confirmer que toutes ces propositions sont équivalentes et que de plus, chaque ligne est "minimale" ?
2) Ces équivalences restent vraies si on remplace $\K$ par un anneau intègre $A$ (i.e. commutatif et tel que tout produit fini d'éléments non nuls est non nul) ? J'ai l'impression qu'il y a un problème avec la 3.
NB. $(P)$ désigne l'idéal engendré par $P$ et on dit que $Q$ est associé à $P$ si $(P)=(Q)$.
Merci par avance pour votre aide.
Edit : ajout de 6.
- $P$ n'est pas le produit de deux polynômes de degrés strictement inférieurs au sien.
- $\deg(P)\geqslant 1$ et $P$ n'est pas le produit de deux polynômes de degrés supérieurs ou égaux à $1$.
- $P$ est non inversible et pour tout $(S,T)\in\K[X]^2$ tel que $P=ST$, $\deg(S)=0$ ou $\deg(T)=0$.
- $P$ est non nul, non inversible et ses seuls diviseurs sont les inversibles et les éléments associés à $P$.
- $P$ est non nul et $(P)$ est un élément minimal dans l'ensemble des idéaux principaux et stricts de $\K[X]$ ordonné par $\supset$.
- $\K[X]/(P)$ est un corps.
1) Pouvez-vous me confirmer que toutes ces propositions sont équivalentes et que de plus, chaque ligne est "minimale" ?
2) Ces équivalences restent vraies si on remplace $\K$ par un anneau intègre $A$ (i.e. commutatif et tel que tout produit fini d'éléments non nuls est non nul) ? J'ai l'impression qu'il y a un problème avec la 3.
NB. $(P)$ désigne l'idéal engendré par $P$ et on dit que $Q$ est associé à $P$ si $(P)=(Q)$.
Merci par avance pour votre aide.
Edit : ajout de 6.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Par contre, ce n’est pas le cas sur $\Z[X]$ : le polynôme $2X$ vérifie les deux trois premiers points, mais pas les autres.
Édit : Correction suite à la réponse ci-dessous.
Par contre, je ne suis pas sûr de comprendre en quoi ton exemple met en défaut 3.
Je suis en revanche d'accord qu'il met en défaut 4 car $2$ divise $2X$ et n'est pas inversible ni associé à $2X$.
De même il met en défaut 5 car $\Z\neq(2)\supsetneq (2X)$.
6. $\K[X]/(P)$ est un corps.