Fonctions telles que $f(\lambda x) = f(x)$
Bonsoir à tous.
En réfléchissant à un problème j'ai été amené à devoir résoudre l'edp simple :
$$
df(x).x = 0,
$$ où $f$ est une fonction de $\mathbb{R}^{2}$ à valeurs réelles. Pas de conditions particulières ou de régularité imposée.
Sans réfléchir bien longtemps j'ai trouvé que les solutions sont les fonctions vérifiant pour tout $\lambda > 0$ : $f(\lambda x) = f(x)$.
Mais voilà... est-ce qu'on peut faire mieux en précisant quelles sont ces fonctions ou est-ce qu'on doit se contenter de cette identité ?
Je vous remercie.
En réfléchissant à un problème j'ai été amené à devoir résoudre l'edp simple :
$$
df(x).x = 0,
$$ où $f$ est une fonction de $\mathbb{R}^{2}$ à valeurs réelles. Pas de conditions particulières ou de régularité imposée.
Sans réfléchir bien longtemps j'ai trouvé que les solutions sont les fonctions vérifiant pour tout $\lambda > 0$ : $f(\lambda x) = f(x)$.
Mais voilà... est-ce qu'on peut faire mieux en précisant quelles sont ces fonctions ou est-ce qu'on doit se contenter de cette identité ?
Je vous remercie.
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Réponses
Si la continuité en $0$ n'est pas imposée alors les valeurs de $f$ sur le cercle unité la déterminent entièrement et n'importe quelle fonction $g : \theta \mapsto g(\theta)$ sur le cercle qui soit $C^1$ engendrera une fonction $f$ convenable.
Encore une fois merci au fantastique Mr Fox.
$f(a x)=f(x)$ pour $a>0$ a pour solution $f(x )=T(\ln x)$ ou $T(z)=T(z+\ln a)$ est une fonction périodique arbitraire.
Quand tu passes au logarithme tu tombes sur la définition d’une fonction périodique. C’est la démonstration.
Sinon je ne vois pas ce que tu appelles logarithme.
En fait les solutions qui me venaient spontanément en cherchant étaient seulement les $k \log{x} - k \log{y}$. J'avais mal lu, je pensais que tu parlais de celles-ci aussi.
Mais Renart a répondu. Ma relation dit bien par définition qu'on peut prendre n'importe quelle fonction ne dépendant pas de sa norme. Autrement dit $f(x) = g(\frac{x}{||x||})$ avec $g$ une fonction du cercle.
Attention ceci dit, il faut que $g$ vérifie certaines conditions de régularité pour que la fonction $f$ associée soit différentiable (sans oublier l'absence de continuité de $f$ en $0$).
C'est d'ailleurs grâce au souvenir de ce vieil exercice que j'ai trouvé comment résoudre ma petite edp de base.
Mais je n'avais pas pensé qu'on pouvait caractériser les fonctions homogènes facilement, pourtant ça tombe sous le sens.