Symétrie orthogonale
Bonsoir
Je bloque sur la première question. On a $s(w_1)=w_1$ d'où la première colonne de la matrice mais je n'arrive pas à calculer $s(w_2)$.
Soit $E$ l'espace vectoriel de $\R^2$ muni du produit scalaire standard et de la base canonique $\mathcal B=\{e_1,e_2 \}$. On définit une base $\mathcal C=\{w_1,w_2 \}$ de $E$ par $w_1=e_1$ et $w_2= \dfrac{1}{2} (e_1 + \sqrt{3} e_2)$
1) Soit $s_1 : E \longrightarrow E$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\R w_1$. Montrer que la matrice de $s_1$ dans la base $\mathcal C$ est $ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
2) Soit $s_2 : E \longrightarrow E$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\R w_2$. Montrer que la matrice de $s_2$ dans la base $\mathcal C$ est $ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Soit $H = \{ (m_1,m_2,m_3) \in \R^3 \ \ | \ \ m_1+m_2+m_3=0 \}$. On note $H^{+} = \{ (m_1,m_2,m_3) \in H \ | \ m_1 \geq m_2 \geq m_3 \}$. On considère l'application :
$$ \begin{array}{cccl}
\varphi :& H &\longrightarrow &E \\
& (m_1,m_2,m_3) &\longmapsto &(m_1-m_2)w_1+(m_2-m_3)w_2.
\end{array}
$$ 3) Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme linéaire. Décrire $\varphi(H^{+})$.
4) Montrer que pour tout $(m_1,m_2,m_3) \in H$ on a $s_1 \circ \varphi(m_1,m_3,m_2)=\varphi(m_1,m_2,m_3)$ et $s_2 \circ \varphi(m_1,m_2,m_3)=\varphi(m_2,m_1,m_3)$
5) Soit $\widehat{\lambda}=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) \in H$ tels que $\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3$.
On note $Q_{\widehat{\lambda}} = \{ (m_1,m_2,m_3) \in H^{+} \ | \ m_1 \leq \lambda_1 \ \ \text{et} \ \ \ m_1+m_2 \leq \lambda_1+\lambda_2 \}$.
Montrer que $\varphi(Q_{\widehat{\lambda}})$ est un quadrilatère dont on décrira les sommets.
Je bloque sur la première question. On a $s(w_1)=w_1$ d'où la première colonne de la matrice mais je n'arrive pas à calculer $s(w_2)$.
Soit $E$ l'espace vectoriel de $\R^2$ muni du produit scalaire standard et de la base canonique $\mathcal B=\{e_1,e_2 \}$. On définit une base $\mathcal C=\{w_1,w_2 \}$ de $E$ par $w_1=e_1$ et $w_2= \dfrac{1}{2} (e_1 + \sqrt{3} e_2)$
1) Soit $s_1 : E \longrightarrow E$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\R w_1$. Montrer que la matrice de $s_1$ dans la base $\mathcal C$ est $ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
2) Soit $s_2 : E \longrightarrow E$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\R w_2$. Montrer que la matrice de $s_2$ dans la base $\mathcal C$ est $ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Soit $H = \{ (m_1,m_2,m_3) \in \R^3 \ \ | \ \ m_1+m_2+m_3=0 \}$. On note $H^{+} = \{ (m_1,m_2,m_3) \in H \ | \ m_1 \geq m_2 \geq m_3 \}$. On considère l'application :
$$ \begin{array}{cccl}
\varphi :& H &\longrightarrow &E \\
& (m_1,m_2,m_3) &\longmapsto &(m_1-m_2)w_1+(m_2-m_3)w_2.
\end{array}
$$ 3) Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme linéaire. Décrire $\varphi(H^{+})$.
4) Montrer que pour tout $(m_1,m_2,m_3) \in H$ on a $s_1 \circ \varphi(m_1,m_3,m_2)=\varphi(m_1,m_2,m_3)$ et $s_2 \circ \varphi(m_1,m_2,m_3)=\varphi(m_2,m_1,m_3)$
5) Soit $\widehat{\lambda}=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) \in H$ tels que $\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3$.
On note $Q_{\widehat{\lambda}} = \{ (m_1,m_2,m_3) \in H^{+} \ | \ m_1 \leq \lambda_1 \ \ \text{et} \ \ \ m_1+m_2 \leq \lambda_1+\lambda_2 \}$.
Montrer que $\varphi(Q_{\widehat{\lambda}})$ est un quadrilatère dont on décrira les sommets.
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Réponses
Comme $w_1 = w_1+ 0$ et $w_1 \in \R w_1$ alors $\boxed{s(w_1)=w_1}$
On remarque que $2w_2-\sqrt{3} e_2 = w_1$ donc $2 s(w_2) =s(w_1) +\sqrt{3} s(e_2)= w_1 + \sqrt{3} s(e_2)$ par linéarité de $s$.
Mais $e_2 \in \R w_1 ^{\perp}$ donc $s(e_2)=-e_2$ ainsi $2 s(w_2)=w_1- \sqrt{3} e_2$
Mais $ \sqrt{3} e_2 = 2w_2 -w_1$ donc $2s(w_2)=w_1 -(2 w_2 -w_1)= 2w_1 -2 w_2$
Enfin, $\boxed{s(w_2)=w_1-w_2}$
La matrice recherchée en découle directement.
Je ne sais pas si les autres sont de mon avis mais la question Q5 m'échappe de par sa définition.
En effet la définition de $Q_ {\widehat\lambda}$ [n'utilise] pas $\lambda_3,$ bizarre ou pas ?
Il est clair que $s_2(w_2)=w_2$ mais je n'arrive pas à exprimer $s_2(w_1)$ en fonction de $w_1$ et $w_2$. J'ai essayé ma méthode de la question $1$, sans succès...
On a $s_2 = 2p_2 -id_E$ où $p_2$ est la projection sur $\R w_2$ parallèlement à son orthogonal. Une base $\R w_2$ est $(w_2)$.
Donc $s_2(w_1)=2 p_2 (w_1) -w_1$. Mais $p_2(w_1)= < w_1 , \dfrac{w_2}{||w_2||}> \dfrac{w_2}{||w_2||}$ (projection sur une droite vectorielle)
Or $||w_2||=1$ donc $p_2(w_1)= <w_1 ,w_2> w_2 = \dfrac{w_2}{2}$
Donc $\boxed{s_2(w_1)=w_2-w_1}$ ce qui donne la matrice voulue.
Ce qui termine la question $2$. Le reste à l'air accessible mis à part la question $5$ qui fait peur ::o
Je chercherai ça demain, il faut dormir.
Sinon, $\varphi$ est injective car si $(m_1,m_2,m_3) \in \ker(\varphi)$ alors $(m_1,m_2,m_3) \in H$ et $(m_1-m_2)w_1+(m_2-m_3)w_2=0$.
Comme $(w_1,w_2)$ est une base de $E$ on en tire $m_1=m_2$ et $m_2=m_3$ donc $m_1=m_2=m_3$. Ce qui donne $m_1+m_2+m_3=3m_1=0$. Finalement $\ker(\varphi)= \{0 \}$ et $\varphi$ est injective.
Mais $H$ est le noyau de la forme linéaire non nulle $\begin{array}[t]{cccc}
\phi :& \R^3 &\longrightarrow &\R \\
& (m_1,m_2,m_3) &\longmapsto &m_1+m_2+m_3
\end{array} $
donc $H$ est un hyperplan de $\R^3$ et $\dim H=3-1=2=\dim E$
Ainsi, $\varphi$ est un isomorphisme.
Pour $\varphi(H^{+})$ je trouve $\boxed{\varphi(H^{+}) = \{ (m_1-m_2)w_1+(m_2-m_3) w_2 \ | \ m_1 \geq m_2 \geq m_3 \}}$ est-ce la réponse attendue ?
Quel est le signe de $m_1-m_2$ de ....?
et ainsi donner une expression + simple de cet ensemble
P.S D'ailleurs tu pourras dire la nature de cet ensemble.
Ce qui peut servir à la question 5. car le quadrilatère en question est l'intersection de 2 tels ensembles dont on connait les sommets et ils sont nécessairement 2 sommets du quadrilatère. Les deux autres sont situés chacun sur des axes. Je pense qu'il ne sera pas très difficile de les déterminer.
Par contre, a priori je ne pense pas utiliser $s_1,s_2.$
PS 2 merci Raoul...
Le voici
J'aimerais utiliser qu'une combinaison linéaire de formes linéaires est une forme linéaire.
Maintenant qu'est-ce qu'une application linéaire ? Vérifier qu'une application entre e.v (s) est linéaire est souvent une trivialité.
Il suffit de vérifier que les "coefficients" devant la base $w_1,w_2$ sont des formes linéaires. Ici tu as
$\begin{array}{cccl}
\varphi :& H &\longrightarrow &E \\
& (m_1,m_2,m_3) &\longmapsto &(m_1-m_2)w_1+(m_2-m_3)w_2.
\end{array}$
Devant $w_1$ tu as l'application $(m_1,m_2,m_3) \longmapsto (m_1-m_2)$ de $H$ dans $\R$ et devant $w_2$ tu as l'application $(m_1,m_2,m_3) \longmapsto (m_2-m_3)$ de $H$ dans $\R$. Ce sont deux formes linéaires (on le voit immédiatement mais tu peux le vérifier...) donc $\varphi$ est linéaire.
Soient $(\lambda,\mu) \in \R^2$ et $m=(m_1,m_2,m_3) \in \R^3$ et $m'=(m_1 ',m_2 ',m_3 ') \in \R^3$.
On a $\varphi(\lambda m+ \mu m')=\varphi( (\lambda m_1+ \mu m_1 ', \lambda m_2+ \mu m_2 ' , \lambda m_3+ \mu m_3 ' ) )$
Donc $\varphi(\lambda m+ \mu m')= ( \lambda m_1 + \mu m_1 ' - \lambda m_2 - \mu m_2 ') w_1 +(\lambda m_2 +\mu m_2 ' - \lambda m_3 - \mu m_3 ')w_2 \\
= \lambda (m_1-m_2) w_1 + \mu (m_1 '-m_2 ') w_1 + \lambda (m_2-m_3)w_2 + \mu (m_2 '-m_3 ') w_2 \\
= \lambda \varphi(m)+ \mu \varphi(m')$
Ainsi, $\varphi$ est linéaire.
Question $4$ :
C'est un simple calcul. Soit $(m_1,m_2,m_3) \in H$. On a $s_1 \circ \varphi(m_1,m_2,m_3)= s_1 ( (m_1-m_2) w_1+(m_2-m_3) w_2)$
Par linéarité de $s_1$ on a : $s_1 \circ \varphi(m_1,m_2,m_3)=(m_1-m_2) s_1(w_1)+(m_2-m_3) s_1(w_2)$
Or $s_1(w_1)=w_1$ et $s_1(w_2)=w_1-w_2$ donc $s_1 \circ \varphi(m_1,m_2,m_3)= (m_1-m_2) w_1 + (m_2-m_3) (w_1-w_2)$
Enfin $\boxed{s_1 \circ \varphi(m_1,m_2,m_3)=w_1(m_1-m_3) +w_2(m_3-m_2)=\varphi (m_1,m_3,m_2)}$
De plus, $s_2 \circ \varphi(m_1,m_2,m_3)= s_2 ( (m_1-m_2) w_1+(m_2-m_3) w_2)$
Par linéarité de $s_2$ on a : $s_2 \circ \varphi(m_1,m_2,m_3)=(m_1-m_2) s_2(w_1)+(m_2-m_3) s_2(w_2)$
Or $s_2(w_1)=w_2 -w_1$ et $s_2(w_2)=w_2$ donc $s_2 \circ \varphi(m_1,m_2,m_3)= (m_1-m_2) (w_2-w_1)+ w_2 (m_2-m_3) $
Enfin $\boxed{s_1 \circ \varphi(m_1,m_2,m_3)=w_1(m_2-m_1) +w_2(m_1-m_3)=\varphi (m_2,m_1,m_3)}$
Le jury dit pour la question $5$ : "cette question difficile a été très rarement abordée. Aucun candidat n'y a répondu de façon complète".
Je sais vérifier qu'elles sont linéaires mais je n'ai pas compris pourquoi il suffit de vérifier que les "coefficients" devant la base $w_1,w_2$ sont des formes linéaires.
@Noobey
C'est un point de repère pour moi, je ne vois pas comment je pourrais réussir une question qu'aucun candidat n'a réussi.
Il fait bon de ne pas être défaitiste de temps en temps.
Et ma raci ne carrée, ça avance ?
Pas faux.
J'ai avancé un peu. D'après la question $3$, on a :
$\boxed{\varphi(Q_{\widehat{\lambda}}) =\{ a w_1 + b w_2 \ | \ a \geq 0 \ \ \text{et} \ \ b \geq 0 \ \ \text{et} \ \ 2a +b \leq 3 \lambda_1 \ \ \text{et} \ \ a+2b \leq 3\lambda_1 +3 \lambda_2 \} }$
Donc c'est l'ensemble des points au dessus de l'axe $(Ox)$, à droite de l'axe $(Oy)$, en dessous de la droite d'équation $2a+b= 3 \lambda_1$ et en dessous de la droite d'équation $a+2b = 3(\lambda_1 + \lambda_2)$
A partir de là je bloque un peu.
Comparons $3 \lambda_1$ et $\dfrac{ 3(\lambda_1+ \lambda_2)}{2}$
On a $\Delta= 3 \lambda_1 - \dfrac{ 3(\lambda_1+ \lambda_2)}{2}=\dfrac{3( \lambda_1- \lambda_2)}{2} \geq 0 $ car $\lambda_1 > \lambda_2$
Donc $\boxed{3 \lambda_1 > \dfrac{ 3(\lambda_1+ \lambda_2)}{2}}$
Je peux maintenant dessiner les droites dans le repère $(w_1,w_2)$ je pense pouvoir trouver la solution. Je dois trouver le point d'intersection des deux droites.
Non, $w_2$ n'est pas bien dessiné...
Le théorème fondamental des mathématiques "la seconde question vient après la première" possède de nombreux corollaires, c'est ce que je disais à mes élèves.
Cordialement,
Rescassol
"Il s'est fait la 5", veut sans doute dire "il a massacré la 5".
Par ailleurs, cet exercice en 5 questions est constitué des questions 14 et 15 du problème "X/ENS Maths A MP 2015", qui comportait 16 questions (durée 4 heures). La question 16 disait "hexagone". Quelle surprise !
J'aime bien ce sujet.
Un hexagone est une réunion de quadrilatère...
Après je n'ai pas fait les premières parties.
Quant aux quadrilatères qui se réunissent pour causer d'un hexagone, cela ressemble à un con-clave.
Je n'ai pas fait les calculs et je n'ai pas suivi les tiens. Néanmoins, je suis assez persuadé que B c'est $\phi(\lambda)$ Est ce que tu as calculé les coordonnées dans la base canonique où dans la base $(w_1,w_2)$?
Mais dans les 2 cas cela ne correspond pas à $\phi(\lambda)$
C'est pour cela que pense que c'est incorrect.
$\varphi(Q_{\widehat{\lambda}}) =\{ a w_1 + b w_2 \ | \ a \geq 0 \ \ \text{et} \ \ b \geq 0 \ \ \text{et} \ \ 2a +b \leq 3 \lambda_1 \ \ \text{et} \ \ a+2b \leq 3\lambda_1 +3 \lambda_2 \} $
parce que je ne comprends pas.
Tout ce que je sais c'est que ton résultat est faux car $B=\phi(\lambda)$, c'est certain.
Perso je n'ai pas envie de faire le travail à ta place.
Ou bien tu as un raisonnement faux ou alors tu as fait une erreur de calcul.
Si tu as fait une erreur, vérifie S-T-P tes calculs.
Maintenant j'ai doute avec tes remarques. En effet, demander si tu as calculé dans telle base ou telle base, cela ressemble à ton enfumage habituel :
c'est-à-dire que je subodore que tu as un corrigé...blabla ...c'est toujours la même histoire.
De toute façon ce sont les corrigés du site ups et je ne les ai jamais compris. Je ne les lis même plus, mis à part pour vérifier un résultat qui n'est pas donné dans l'énoncé, mais je ne comprends pas les explications données.
Donc je préfère faire moi-même.
Je mets le corrigé juste pour que tu puisses voir la valeur trouvée par le correcteur.
(2) Comment sait-on que le fameux OShine ne pige rien à rien ... et/ou est un troll ?
Cette question n'a été réussie par aucun candidat,pourtant ceux qui passent l'X sont les 1300 meilleurs candidats de France.
Et généralement les 50 premiers sont des montres en math.
On oublie OShine-le-troll et l'on s'intéresse aux questions 14-15 de la cuvée 2015.
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\def\R{\mathbb R}
\left(x,y\right)$ wrt $e_{1},e_{2}$ ; $\left(a,b\right)$ wrt $w_{1},w_{2}$ ; et $\left(m_{1},m_{2},m_{3}\right)$ dans le plan $H$. On nous donne: \begin{align*} \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right) & =\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} m_{1}-m_{2}\\ m_{2}-m_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} +1 & -1 & 0\\ 0 & +1 & -1 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} m_{1}\\ m_{2}\\ m_{3} \end{array}\right) \end{align*} toutes ces transformations étant évidemment linéaires.
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En résumé, le lieu de $M$ est le quadrilatère convexe non vide et non réduit à un point ayant $O,L$ pour paire diagonale et les projections (orthogonales) de $L$ sur les droites $OA$ et $OB$ pour deuxième paire diagonale.
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Cordialement, Pierre.
Il faut avoir un niveau bac+8 pour comprendre ça ?
On oublie OShine-le-troll et l'on s'intéresse aux questions 14-15 de la cuvée 2015?
Ils donnent l'heure ? Et ils font le café en plus ? C'est peut-être ce que tu devrait apprendre, c'est à ta portée.
Cordialement,
Rescassol
Fais des maths ! si tu veux faire le malin va en discothèque, va sur les réseaux sociaux, va ailleurs !
Cordialement
Dès la première ligne je ne comprends rien.