Espace $\ell^{2,1}$

Hello !
x est une suite réelle (ou fonction de N dans R)
$x_k = x(k)$

Heu ... la norme porte sur la suite tout entière. On peut s'intéresser à la distance de deux suites, pas de deux nombres.

Cordialement.

Ben ... tu as une suite d'éléments de $\ell^{2,1}$, avec la norme associée, tu sais définir une distance, et tu appliques la définition de "suite de Cauchy".
Les éléments de $\ell^{2,1}$ sont des suites ayant une certaine propriété, il serait bon déjà de montrer qu'elles forment un espace vectoriel, c'est la base pour avoir un Banach.
Si x et y sont deux suites, il est traditionnel d'écrire leurs éléments $x_n$ et $y_n$. Mais si tu veux écrire une suite de suites, il va falloir indicer ces suites. Tu peux noter $(x^{(n)})_n$ ta suite, et $x^{(n)}_k$ le k-ième élément de la suite $x^{(n)}$. Une autre méthode est celle de ton document où $x$ est la suite $(x(n))_n$ ce qui permet de définir par un indice traditionnel une suite de suites : $(x_n)_n$, le k-ième élément de la suite $x_n$ étant noté $x_n(k)$.
A toi de choisir, mais il te faut décoder correctement cet énoncé, et démontrer que $\ell^{2,1}$ est un espace vectoriel est un moyen de t'habituer à ta notation.

Bon travail !