Réduction simultanée des parties décimales
Bonjour à tous
Une question qui m'occupe depuis un moment :
On se donne trois réels $x,y$ et $z\ , \mathbb{Q}$-linéairement indépendants . Est-il toujours possible de trouver un entier non nul $k$ plaçant $\{kx\}\ ,\{ky\}$ et $\{kz\}$ dans un voisinage donné de $0$ ? Le résultat semble évident et pourtant :-S
Merci d'avance pour vos réponses :-)
Domi
PS : Les accolades représentent les parties décimales des réels ( $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ ) .
Une question qui m'occupe depuis un moment :
On se donne trois réels $x,y$ et $z\ , \mathbb{Q}$-linéairement indépendants . Est-il toujours possible de trouver un entier non nul $k$ plaçant $\{kx\}\ ,\{ky\}$ et $\{kz\}$ dans un voisinage donné de $0$ ? Le résultat semble évident et pourtant :-S
Merci d'avance pour vos réponses :-)
Domi
PS : Les accolades représentent les parties décimales des réels ( $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ ) .
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
On approche de très près (aussi bien que suffisant) par des rationnels les réels $x$, $y$ et $z$.
Une approximation décimale doit suffire (j’entends avec « les bons chiffres derrière la virgule »).
Puis je boucle en choisissant un $k$ qui met tout le monde d’accord (partie décimale exactement nulle).
Je ne sais pas si ça marche, ni si je me fais bien comprendre.
EDIT : comme vu plus bas, c'est faux en l'état. Par contre on s'approche des "coins", ça c'est sûr.
Domi
Domi.
Ceci reste à prouver bien sûr.
Domi.
Pour résumer , car à force de changer les hypothèses on ne sait plus de quoi on parle :-)
On dispose d'un ensemble de trois réels $\{x,y,z\}$ tel que la somme d'éléments irrationnels distincts de cet ensemble ne soit jamais entière . Peut-on toujours choisir un entier $k$ qui enferme $\{kx\},\{ky\}$ et $\{kz\}$ dans un voisinage donné de $0$ ?
Ici on ne parle plus d'indépendance linéaire .
Je me doute bien que ce fil est pénible à suivre et j'en suis désolé mais je cherche en même temps que vous :-(
Domi
En effet, si $x,y,z$ irrationnels et si $ax+by+cz \in \Z$ avec $a,b,c \in \N^*$, alors $akx-a\lfloor kx \rfloor +bky-b\lfloor ky \rfloor+ckz-c\lfloor kz \rfloor \in\Z$. Donc $a\{kx\}+b\{ky\}+c\{kz\}\in \Z$ et est $\geq 0$, donc $\in\N$.
Donc si $k>0$, on ne peut avoir $(\{kx\}, \{ky\}, \{kz\}) \in ]-1/(3a),1/(3a) [ ~\times ~ ]-1/(3b),1/(3b)[ ~\times ~ ]-1/(3c),1/(3c)[$.
Je vais revoir la question.
On considère $\epsilon>0$ et je fixe $a,b$ de sorte que $[a,b]\subset \,]0,\epsilon[$. Je considère enfin $\phi$ une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ qui est supportée dans $[a,b]$, positive et d'intégrale égale à $1$ et je la prolonge ensuite par $1$-périodicité.
Je souhaiterais prouver que $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \phi(k x) \phi( k y) \phi (k z)=(\int_a^b \phi(x) dx)^3=1$. En particulier je pourrais en déduire qu'il existe une infinité d'entiers $k$ tels que $kx =p_k^x + r_k^x,\ ky=p_k^y+r_k^y,\ k z=p_k^z+r_k^z$ avec $p_k^x, p_k^y, p_k^z$ des entiers et $r_k^x, r_k^y,r_k^z$ trois réels dans $]a,b[$ donc qui sont positifs et petits. En particulier on aurait alors $r_k^x=\{k x\}$, $\ r_k^y=\{k y\}$ puis $r_k^z=\{k z\}$ ce qui répondrait à la question.
Je peux développer $\phi$ en série de Fourier qui converge normalement dans ce cas :
$$
\phi(x)=\sum_{p\in\mathbb{Z}} c_p(\phi) e^{ 2 i \pi p x},
$$ et je peux alors écrire
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \phi(k x) \phi(k y) \phi(k z)= \Big(\int_a^b \phi(x) dx\Big)^3 + \sum_{(p,q,r)\neq(0,0,0)} c_p (\phi) c_q(\phi) c_r(\phi) \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{2 i \pi k (px+qy +rz)}.
\end{eqnarray*} Si je suppose que $px+qy+rz$ n'est jamais un nombre entier sauf si $p=q=r=0$, alors on aura $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{2 i \pi k (px+qy +rz)}\to 0.$
On peut justifier l'interversion de limite ici car $\sum_p |c_p(\phi)|<\infty$, ce qui garantit que $\sum_{(p,q,r)\neq(0,0,0)} c_p (\phi) c_q(\phi) c_r(\phi) \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{2 i \pi k (px+qy +rz)}\to 0.$ La limite est donc bien $\big(\int_a^b \phi(x) dx\big)^3$ comme annoncé et donc on a une infinité d'entiers $k$ pour lesquels les parties décimales de $kx, ky ,kz$ sont petites.
En fait mon problème de départ était de trouver une condition nécessaire et suffisante sur les réels $x,y,z$ pour qu'il existe un entier $k$ tel que $\{kx\}+\{ky\}+\{kz\} \notin [1;2]$. Le cas où au moins deux des réels sont rationnels est vite expédié, il reste les autres possibilités.
Domi.
Domi
Au passage le contre-exemple de Marco n'est techniquement pas un contre-exemple puisque tu as toi-même supposé (il faut un peu rectifier) que $1,x,y$ et $z$ sont $\mathbb{Q}$-linéairement indépendants.
Tentons de clarifier la situation :
Si $x,y,z$ sont irrationnels (pas besoin d’utiliser d’indépendance sur $\mathbb{Q}$ ) alors par le lemme des tiroirs on a une infinité d’entiers $k$ tels que $dist((kx,ky,kz),\mathbb{Z}^3)$ est petit.
Ca ne répond pas à la question d’accord car la partie fractionnaire n’est pas la distance aux entiers et marco a donné des contre-exemples quand on peut avoir par exemple $x+y+z$ qui est un entier.
Si l’on suppose cette fois que $px+qy+rz$ n’est jamais un entier, sauf pour $p=q=r=0$ alors $({kx},{ky},{kz})$ est équirépartie dans $[0,1]^3$. C’est la même preuve que pour le critère de Weyl. Ceci n’est pas contradictoire avec les contre-exemples de marco.
Ah c'est pour ça que je l'ai trouvée géniale, parce que je n'ai jamais lu le critère de Weyl...B-)-
Pour Raoul: maintenant tu l’as lu!