Ok merci. Soit $k$ fixé dans $[|1,p|]$. C'est un sous-groupe pour la loi multiplication de matrices ?
L'élément neutre de $GL_n(\R)$ est la matrice identité.
Montrons que l'application $f : G \longrightarrow G \\ \ \ \ M \mapsto M_k M$ est une bijection. Comme $G$ est fini, il suffit de montrer qu'elle est injective.
Injectivité :
Soit $M \in \ker (f)$ alors $f(M)=I_n$ soit $M_k M=I_n$. Je bloque ici. Je ne vois pas pourquoi $M$ serait égale à la matrice identité :-S
La méthode $f(M)=f(M') \implies M=M'$ fonctionne mais je ne comprends pas l'erreur dans l'autre méthode. En effet, $M_k M=M_k M' \implies M_k ^{-1} M_k M = M_k ^{-1} M_k M' \implies M=M'$ car $M_k$ est inversible.
Oui si on a $f : G \longrightarrow G \\ x \mapsto f(x)$ une bijection avec $G$ fini alors $\displaystyle\sum_{x \in G} x = \displaystyle\sum_{x \in G} f(x)$
Les exercices de la page que tu as choisie, Oshine, ne semblent pas refléter les programmes actuels.
Cela fait 8 ans que la notion de sous-groupe (et même la notion de groupe) a déserté les programmes de PC et de PSI.
Seuls les MPSI qui s'orientent vers une MP (et depuis cette année, les MPI également) entendent parler des groupes et devront le retenir.
Il ne coûterait pas grand chose de rappeler simplement la définition (ici, seul le fait que l'ensemble soit fini et stable par produit est utile, le reste s'en déduit) plutôt que d'utiliser ce vocabulaire.
En effet, Bisam, il est scandaleux qu'une notion aussi fondamentale que la notion de groupe ait disparu du programme de toutes les classes préparatoires, à une exception près ! C'est clairement une grande baisse du niveau d'exigence de notre enseignement.
On peut quand même récupérer cet exercice dans ces classes. Il suffit de considérer une partie $G$ de $GL_n(\mathbb R)$, de cardinal $p \in \mathbb N^*$, multiplicativement stable, en définissant au besoin cette notion : $ \forall M \in G, \forall M' \in G, MM' \in G$.
Si $Q \in G$, on peut définir une application $M \mapsto QM$, de $G$ dans $G$, parce que $G$ est multiplicativement stable. Cette application est injective parce que $Q$ est inversible. Elle est donc bijective parce que $G$ est fini.
En conséquence : $\displaystyle Q\sum_{M \in G} M= \sum_{M \in G} QM = \sum_{M \in G} M$.
D'où : $\displaystyle (\sum_{M \in G} M)^2= (\sum_{Q \in G} Q)( \sum_{M \in G} M)= \sum_{Q \in G} (Q \sum_{M \in G} M)= \sum_{Q \in G} \sum_{M \in G} M=p \sum_{M \in G} M$.
Et donc $\displaystyle P=\frac1p \sum_{M \in G} M$ est une matrice de projecteur. Etc.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
De toutes manières, une partie stable finie (non vide) d'un groupe est un sous-groupe. Ça me rappelle le joli exercice : une partie multiplicativement stable de $\mathbb C \backslash $$\{0\}$, à $n$ éléments, $n \in \mathbb N$, $n\ge 2$, est l’ensemble des racines $n$-èmes de l'unité.
OShine demande à Gai Requin « comment sais-tu qu'on doit considérer ... etc. ? ». Depuis le temps qu'il cherche des problèmes, il devrait connaître la réponse à ce genre de question. Ce pourrait être : « je fais ça parce que ça marche » (:D.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Exercice voisin :
Soit $E$ un espace euclidien de produit scalaire $\langle\rangle$ et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}(E)$.
a) Montrer qu'il existe un produit scalaire $\langle\langle\rangle\rangle$ sur $E$ tel que, pour tout $g\in G$, $g$ soit orthogonal pour $\langle\langle\rangle\rangle$.
b) En déduire qu'il existe $\varphi\in \mathrm{GL}(E)$ tel que, pour tout $g\in G$, $\varphi g\varphi^{-1}$ soit orthogonal pour $\langle\rangle$.
Définition : Soit $E$ un espace euclidien de produit scalaire $\langle\rangle$ et $f\in L(E)$.
On dit que $f$ est orthogonal pour $\langle\rangle$ ssi pour tous $x,y\in E$, $\langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$ (i.e. $f$ conserve le produit scalaire).
Moi aussi la formulation m'a surpris et intrigué. Il aurait été plus clair de dire que tout $g\in G$ est un automorphisme orthogonal de $E$ pour le produit scalaire $\langle\langle\rangle\rangle$. Il en résulte que tout sous-groupe fini de $GL_n(\mathbb R)$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $O_n(\mathbb R)$.
En prépa puis en prépa agreg, on m'a dit "Plus tu quantifies, mieux c'est" et là, mon énoncé se taduit mot à mot en langage formel :$$\exists\langle\langle\rangle\rangle\in\mathrm{Scal}(E)\quad\forall g\in G\quad g\in \mathrm O(E,\langle\langle\rangle\rangle).$$
Réponses
Montrons que c'est un projecteur. On a $P^2 = \dfrac{1}{p^2} ( \displaystyle\sum_{k=1}^p M_k )( \displaystyle\sum_{l=1}^p M_l)$
Donc $P^2 = \dfrac{1}{p^2} \displaystyle\sum_{k=1}^p \displaystyle\sum_{l=1}^p M_k M_l$
Je ne vois pas comment continuer et où utiliser le fait que $G=\{M_1, \cdots, M_p \}$ est un sous-groupe fini de $GL_n(\R)$.
L'élément neutre de $GL_n(\R)$ est la matrice identité.
Montrons que l'application $f : G \longrightarrow G \\ \ \ \ M \mapsto M_k M$ est une bijection. Comme $G$ est fini, il suffit de montrer qu'elle est injective.
Injectivité :
Soit $M \in \ker (f)$ alors $f(M)=I_n$ soit $M_k M=I_n$. Je bloque ici. Je ne vois pas pourquoi $M$ serait égale à la matrice identité :-S
La méthode $f(M)=f(M') \implies M=M'$ fonctionne mais je ne comprends pas l'erreur dans l'autre méthode. En effet, $M_k M=M_k M' \implies M_k ^{-1} M_k M = M_k ^{-1} M_k M' \implies M=M'$ car $M_k$ est inversible.
La bijection fournit $P^2=\dfrac{1}{p^2} \displaystyle\sum_{k=1}^p \displaystyle\sum_{l=1}^p M_k =\dfrac{1}{p} \displaystyle\sum_{k=1}^p M_k $
On a montré $P^2=P$ donc $P$ est un projecteur.
Puis $Tr(P)=\dfrac{1}{p} Tr(\displaystyle\sum_{k=1}^p M_k) =0$ donc $rg(P)=0$ et $rg(\displaystyle\sum_{k=1}^p M_k)=0$
Finalement $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^p M_k =0}$
OShine écrivait:
La bijection fournit $P^2=\dfrac{1}{p^2}
\displaystyle\sum_{k=1}^p
\displaystyle\sum_{l=1}^p M_k =\dfrac{1}{p}
\displaystyle\sum_{k=1}^p M_k $
Cela fait 8 ans que la notion de sous-groupe (et même la notion de groupe) a déserté les programmes de PC et de PSI.
Seuls les MPSI qui s'orientent vers une MP (et depuis cette année, les MPI également) entendent parler des groupes et devront le retenir.
Il ne coûterait pas grand chose de rappeler simplement la définition (ici, seul le fait que l'ensemble soit fini et stable par produit est utile, le reste s'en déduit) plutôt que d'utiliser ce vocabulaire.
On peut quand même récupérer cet exercice dans ces classes. Il suffit de considérer une partie $G$ de $GL_n(\mathbb R)$, de cardinal $p \in \mathbb N^*$, multiplicativement stable, en définissant au besoin cette notion : $ \forall M \in G, \forall M' \in G, MM' \in G$.
Si $Q \in G$, on peut définir une application $M \mapsto QM$, de $G$ dans $G$, parce que $G$ est multiplicativement stable. Cette application est injective parce que $Q$ est inversible. Elle est donc bijective parce que $G$ est fini.
En conséquence : $\displaystyle Q\sum_{M \in G} M= \sum_{M \in G} QM = \sum_{M \in G} M$.
D'où : $\displaystyle (\sum_{M \in G} M)^2= (\sum_{Q \in G} Q)( \sum_{M \in G} M)= \sum_{Q \in G} (Q \sum_{M \in G} M)= \sum_{Q \in G} \sum_{M \in G} M=p \sum_{M \in G} M$.
Et donc $\displaystyle P=\frac1p \sum_{M \in G} M$ est une matrice de projecteur. Etc.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
OShine demande à Gai Requin « comment sais-tu qu'on doit considérer ... etc. ? ». Depuis le temps qu'il cherche des problèmes, il devrait connaître la réponse à ce genre de question. Ce pourrait être : « je fais ça parce que ça marche » (:D.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Soit $E$ un espace euclidien de produit scalaire $\langle\rangle$ et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}(E)$.
a) Montrer qu'il existe un produit scalaire $\langle\langle\rangle\rangle$ sur $E$ tel que, pour tout $g\in G$, $g$ soit orthogonal pour $\langle\langle\rangle\rangle$.
b) En déduire qu'il existe $\varphi\in \mathrm{GL}(E)$ tel que, pour tout $g\in G$, $\varphi g\varphi^{-1}$ soit orthogonal pour $\langle\rangle$.
Je n'ai jamais vu la notion d'être orthogonal pour un produit scalaire.
J'ai vu juste l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel.
On dit que $f$ est orthogonal pour $\langle\rangle$ ssi pour tous $x,y\in E$, $\langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$ (i.e. $f$ conserve le produit scalaire).