Montrer l'inclusion

$\newcommand{Conv}{\operatorname{Conv}}$Soit $X$ un espace de Banach, et $\phi \in \mathcal{L}(X)$.
Soit $M\subset X$, l'enveloppe convexe de $M$ est définie par :
$$ \Conv(M) = \big\{ x \in M \mid x= \sum_{i=1}^k \lambda_i x^i, \ x^i \in M,\ \lambda_i \in \mathbb{ R}^+,\ \sum_{i=1}^k \lambda_i= 1 \big\} .$$
Je veux prouver que $\phi\big(\overline{\Conv}(M)\big) \subseteq \overline{\Conv}\big(\phi(M)\big)$.
Soit $y\in \phi\big(\overline{\Conv}(M)\big)$, alors il existe $x\in \overline{\Conv}(M)$, soit [tel que] : $y=\phi(x)$.
Depuis $x\in \overline{\Conv}(M)$, il existe une séquence suite $\{x_n\}_n\subset \Conv(M)$, soit [tel que] : $x_n\rightarrow x. $
Pour chaque $n\in \mathbb{N},$ soit [tel que] $\{x_n^i\}_{i=1}^{k_n}\subset M$ et $\{\lambda_n^i\}_{i= 1}^{k_n}\subset \mathbb{R}^+$ soit : $$x_n= \sum_{i=1}^{k_n} \lambda_n^i x_n^i\;.
$$ Par conséquent, $$\phi(x_n)= \sum_{i=1}^{k_n} \lambda_n^i \phi(x_n^i)\:.
$$ Alors, $\phi(x_n)\in \Conv\big(\phi(M)\big)$ et il converge vers $\phi(x)$ (puisque $\phi$ est continu).
Enfin, $y=\phi(x)\in \overline{\Conv}\big(\phi(M)\big).$

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