Intégrale d'une fonction de deux variables

Nora-math · October 2021

Bonsoir
S'il vous plaît j'ai une fonction $f$ à deux variables.
Est-ce que $\int_{\mathbb{R}}f(x,u(x)) dx$ est une fonction par rapport à la variable $u$

C'est-à-dire $\ \int_{\mathbb{R}} f(x,u(x))dx = g(u(x))$,

ou à deux variables $\ \int_{\mathbb{R}} f(x,u(x))dx = g(x,u(x))$.

Merci beaucoup.

JLapin · October 2021

C'est quoi $u$ en fait ?
Et aucune de tes deux intégrales ne dépend de la variable $x$.

YvesM · October 2021

Bonjour,

Quand tu intègres sur $\R$ une fonction de $x$ tu obtiens un réel.

Tu devrais le savoir.

gerard0 · October 2021

Bonjour.

Soit $U$ un ensemble de fonctions numériques. Alors l'application de $U$ dans $\mathbb R$ définie par $u\mapsto \int_{\mathbb{R}}f(x,u(x)) dx$ est une fonction que l'on peut appeler $g$ si on veut, et alors $\int_{\mathbb{R}}f(x,u(x)) dx = g(u)$.
Mais en aucun cas $g(u(x))$ qui n'a pas de sens.

D'ailleurs, $g(u)=\int_{\mathbb{R}}f(t,u(t)) dt=\int_{\mathbb{R}}f(k,u(k)) dk=\int_{\mathbb{R}}f(z,u(z)) dz=...$ (pas de $x$, ou de $t$, ou de $k$, ou ... dans le résultat de l'intégrale).

Mais on est très loin de ta question !!

Fin de partie · October 2021

\begin{align}f(x,y)&=\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^4+1}\\
u(x)&=x^5\\
\int_{\mathbb{R}} f(x,u(x))dx&=\int_{\mathbb{R}} \left(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{x^{20}+1}\right)dx
\end{align}
Dans la dernière intégrale il n'y a aucun paramètre, on peut calculer cette intégrale et on obtient un nombre réel qui n'est fonction d'aucun paramètre.

Néanmoins, on peut voir les choses comme ça:
$\displaystyle u\rightarrow \varphi(u)=\int_{\mathbb{R}} f(x,u(x))dx$ on a une application d'un ensemble de fonctions vers l'ensemble des nombres réels. Il faut bien choisir cet ensemble de fonctions pour que $\varphi(u)$ existe pour tout $u$ de cet ensemble, cela n'a rien d'automatique si on prend n'importe quel ensemble de fonctions.

SERGE_S · October 2021

@ Nora-math

L'expression $\int_{\mathbb{R}}f(x,u(x)) dx$ ne contient qu'une variable liée, c'est x. Donc le résultat ne peut pas dépendre de x ni de u, c'est un nombre tout simplement.
Par contre si l'expression était $\int_{\mathbb{R}}f(x,u) dx$ où x est une variable liée et u une variable libre alors le résultat serait bien une fonction de u.

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