Calculs algébriques
dans Algèbre
Bonjour j'ai eu cet exercice à faire. Si quelqu'un pouvait me guider cela serait gentil !
J'ai fait la première question mais là je suis bloqué dans la deuxième. J'ai eu plusieurs idée (par partie entière) par suite croissante 2^k mais je n'ai aucune idée comment commencer.
Pour la question 3 j'ai utilisé le théorème de [large]J[/large]ensen avec la fonction divergente -ln(x) mais malheureusement on n'a pas encore fait ça en classe donc je dois utiliser une autre manière.
Je suis en classe prépa mpsi.
Merci d'avance.
[Johan Jensen (1859-1925) prend toujours une majuscule. AD]
J'ai fait la première question mais là je suis bloqué dans la deuxième. J'ai eu plusieurs idée (par partie entière) par suite croissante 2^k mais je n'ai aucune idée comment commencer.
Pour la question 3 j'ai utilisé le théorème de [large]J[/large]ensen avec la fonction divergente -ln(x) mais malheureusement on n'a pas encore fait ça en classe donc je dois utiliser une autre manière.
Je suis en classe prépa mpsi.
Merci d'avance.
[Johan Jensen (1859-1925) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
@blueberry et pour la deuxième partie de l'inégalité
On montre ensuite que cette condition nécessaire sur $k$ est suffisante.
Grosso modo, pour tout entier $n\geq 1$ et tout entier $k$,$$2^k\leq n<2^{k+1}\Leftrightarrow k=\cdots$$
pas vraiment mais c'est logique, et comment montrer que ce petit élément est 2^k-1 et que n se situe entre 2^k et 2^k-1.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
et merci AD pour votre aide
$k_ 0 \in M$ donc $2^{k_0}>n$.
D'autre part $k_0$ étant le plus petit élément de $M$, $k_0-1 \notin M$ donc $2^{k_0-1} \leqslant n$.
je suis en classe prépa Mpsi
En prenant la méthode que gai requin nous propose j'ai trouvé que k = E(Ln(n)).
Qu'en pensez-vous ?
Comme je l'ai déjà dit, on peut calculer $k$ explicitement à partir d'outils de Terminale...
C'est plutôt $E \left ( \dfrac {\ln n}{\ln 2} \right )$
Pas tout à fait !
Il faut ensuite montrer que ce $k$ convient.
Je viens aussi de voir que la 4) est très très mal formulée ! Je reformule.
Montrer que pour tout entier $n\geq 1$, on a, pour tout $(x_1,\ldots,x_n)\in(\mathbb R_+)^n$ :$$\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac 1 n}\leq\frac 1 n\sum_{i=1}^nx_i.$$Indication : Pour $k$ convenablement choisi, considérer $(x_1,\ldots,x_n,m,\ldots,m)\in(\mathbb R_+)^{2^{k+1}}$, où $m=\displaystyle{\frac 1 n\sum\limits_{i=1}^nx_i}$.
[Merci d'écrire les mots en entier ! AD]
Merci de corriger mes fautes.
[Je n'arrête pas. ;-) AD]
Il faut appliquer 1) avec $x=\left(\prod\limits_{k=1}^{2^n}x_k\right)^{\frac 1{2^n}}$ et $y=\left(\prod\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}x_k\right)^{\frac 1{2^n}}$ puis utiliser deux fois l'hypothèse de récurrence.
?
C'est l'indication de l'énoncé !
Par contre autant on utilise de trouver k tel que n < 2^k, autant ni l'encadrement par deux puissances successives ni l'unicité ne servent à rien dans la démonstration ...
À toi de jouer, je vais dormir !