Norme sous-multiplicative
Réponses
-
On a des raisons de penser que le produit a un carré intégrable ? Que le produit soit intégrable, c'est Cauchy-Schwarz, mais son carré... Pense à $1/\sqrt x$ sur $]0,1[$.
(Après, c'est sans doute justement le sens de ta question...) -
Je pense plutôt à des conditions sur l'espace (genre mesure totale de cet espace), plutôt que des conditions sur les fonctions elle-mêmes. Sur quel espace te places-tu ?
-
Espace de hilbert $L^2([0,1],\mathcal{A},\mathbb{P})$
-
Dans ce cas, tu peux appliquer Cauchy-Schwartz et comparer les normes $L^1 $ et $L^2 $ (pour cela, tu peux appliquer C-S avec une des deux fonctions constatnte).
-
L'inégalité n'est pas dans le sens qu'on voudrait, ou je me fourre le doigt dans l'œil une deuxième fois ?
-
Je sais que si $f\in L^2$ et $g\in L^2$ alors $fg\in L^1$ et que $\|fg\|_1\leq\|f\|_2\|g\|_2$, et je sais aussi que si $f\in L^4$ et $g\in L^4$ alors $fg\in L^2$ $\|fg\|_2\leq\|f\|_4\|g\|_4$. Je ne cherche pas ça !
Ma question est
"Sous quelles conditions (sur $f$ ou $g$ ou bien l'espace) on a $\ \|fg\|_2\leq\|f\|_2\|g\|_2\ ?$" -
Si tu travailles sur $[0,1]$, que tes fonctions $f$ et $g$ sont à valeurs réelles et que $f^2$ et $g^2$ sont respectivement croissante et décroissante, alors ton inégalité est vraie.
Dans le cas général, ton problème manque un peu d'homogénéité pour avoir une belle solution. -
Oui, c'est vrai, j'ai quelque peu confondu.
-
La situation devient plus souple si tu autorises une constante :$ \| f g \|_p \le c \|f\|_p \|g\|_p$; en effet il existe des espaces fonctionnels de Banach non triviaux (i.e de dimension infinie) pour lesquels les normes p ($p<\infty$ sinon c’est pas possible par le lemme de Grothendieck) sont toutes équivalentes, c’est ce qu’on appelle,en gros l’hyper-contractivité. Une simple inégalité d’Holder puis l’équivalence des normes donne ce genre d’inégalités mais avec des constantes (dans ton cas tu veux 1 comme constante pour $p=2$)
-
Pas grand chose a dire sur ce probleme de caracterisation des paires $f,g$ positives telles que
$$\int_0^1f^pg^pdx\leq \int_0^1f^pdx\int_0^1g^pdx.$$ D'abord, pas la peine de s'embarrasser d'un $p$, meme $p=2$, puisque on se ramene trivialement au cas $p=1.$ Ensuite, si $X=f(x)$ et $Y=g(x)$ sont considerees comme des variables aleatoires de covariance $\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)
\mathbb{E}(Y)$, le probleme reel est le suivant: quelles sont les lois possibles pour un couple $(X,Y)$ de va reelles positives d'avoir une covariance negative? Ce probleme n'a pas de solution generale simple (J.Lapin mentionne ci dessus l'observation de Tchebychev).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres