Définir deux nombres qui n'ont pas de sens

La grammaire, ça ne va pas non plus, dirait-on...

La différence, c'est que le nombre $0,999...$ est parfaitement défini alors que le nombre "$999...$" ne l'est pas.

Tu demandes à faire des calculs sur des nombres qui n'ont pas de sens.

Soit.

Mais commence par le début. Tu parles de nombres qui n'ont pas de sens... et personne ne sait ce que ça veut dire. Pas même toi.

Par exemple, 98798769871987.... , c'est un nombre qui n'a pas de sens ?
Est-ce qu'il est plus petit ou plus grand que 789178927890789 .... ?

Tu veux définir une nouvelle famille de nombres, soit. Gros chantier. Mais définis correctement cette nouvelle famille de nombres.

Je n’ai pas tout lu mais j’ai deux trucs à dire :

$0,999…$ avec QUE des $9$, c’est bien un nombre que l’on note plus facilement $1$.
$999…$ avec QUE des $9$, ce n’est pas un nombre.

Fin de l’histoire pour moi.

Une remarque annexe :
Quel que soit l’entier $n$,
- écrire $0$ puis $,$ puis $n$ fois le chiffre $9$ permet d’écrire un nombre.
Le passage à la limite donne $1$.
- écrire $n$ fois le chiffre $9$ permet d’écrire un nombre.
Mais le passage à la limite ne donne pas un nombre.

Ici il clair que 98798769871987....>789178927890789

C'est clair pour toi. Ces nombres ont été définis par toi, pour toi.

Pour moi, ça n'a rien de clair.

Tu utilises une opération pour faire ton raisonnement, avec un symbole /
Cette opération s'appelle comment ? La division ?

Que vaut 987987987.... / 10 ?

octobre a écrit:

Ici tout se base sur l'équation 1=0.99999... puis 0.10101010...=0.1010101.../0.999999=101010101../999999..=10/99

Justement, ça c'est faux ! Tu es extrêmement borné...

C'est encore faux parce que tu utilises des règles qui n'existent pas.

Tu écris que $1=0,999...$, c'est vrai "en principe" mais on ne l'écrit pas comme ça, on écrit $\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{9}{10^n}=1$. Tu considères que "$0,999...$" est une écriture décimale valide du nombre $1$, ce qui est... discutable, et à manier avec précaution.

Donc quand tu écris $0,1010... = \dfrac{0,1010...}{0,999...}$, c'est pareil : on comprend ce que tu veux dire, mais on n'écrit jamais d'égalités comme ça, on écrit toujours les choses sans mettre de "$...$" du tout. $0,1010... = \displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\dfrac{10}{100^n} = \dfrac{10}{99}$, avec une série géométrique, comme pour $0,999...=1$.

La seule chose que tu affirmes, en fait, c'est que "$\dfrac{1010...}{999...}$" est égal à $\dfrac{10}{99}$. Mais là, encore une fois, ça ne veut rien dire.

Pour déclarer que deux objets sont égaux, il faut que ces objets existent.

$\dfrac{10}{99}$ existe, c'est une fraction, un élément de l'ensemble $\Q$. Pour que "$\dfrac{1010...}{999...}$" puisse être un élément de $\Q$, il faudrait que son numérateur et son dénominateur soient des nombres entiers, mais un nombre entier a toujours un nombre fini de chiffres. Ici, tu utilises bien "$...$" pour dire qu'il y a une infinité de chiffres, donc les deux symboles "$1010...$" et "$999...$" ne sont clairement pas des nombres entiers. Donc il faut que tu définisses qui sont ces deux symboles, avant de leur appliquer des opérations qui sont réservées aux nombres entiers.

Puisque tu as dit que $i$ n'existait pas : si, il existe dans $\C$, qui a été construit spécifiquement pour ça.

Belle confusion entre "écriture" et "nombre".
On n'y arrivera pas.

L'écriture "9999..." qui se comprend, c'est juste un "mot" que l'on peut définir par la suite constante égale à 9 et où l'on écrit côte à côte chaque terme. C'est ok ça ?
Idem pour "1010...", la suite périodique $patati$ et on écrit côte à côte chaque terme. C'est ok encore ?

Mais ces "mots" là ne représentent pas des nombres.

Puisque l'on est dans Shtam, on peut tout de même s'amuser à "opérer" sur des mots (en fait sur des suites de chiffres) au lieu d'opérer sur des nombres. Allez, ça donne presque un sujet intéressant. Additionner des "mots" de chiffres, les soustraire, les multiplier puis les diviser...
Je n'ai pas le temps mais qui veut bien se lancer dans cette aventure ?

Cela m'évoque un peu les polynômes puis les séries formelles (si je ne me trompe pas) qui sont "des polynômes infinis".

Mais l'auteur comprendra-t-il de quoi je parle ? (ce n'est pas du mépris)

octobre, sais-tu de quoi tu parles ?

Un nombre décimal a une écriture décimale finie.
Ainsi, ta notation $0,A$ fonctionne où $A$ est un mot fini s’il on considère les développements décimaux propres.
Et alors : $0,A/0,B=A/B$ me va très bien à condition que la taille des mots $A$ et $B$ soient égales.
Mais sans ça, ça ne marche pas : $0,2/0,56$ ne vaut pas $2/56$.
Après équilibrage des tailles, quitte a ajouter des $0$, on a bien l’égalité avec $20/56$.
Ou encore $20000/56000$.
Mais tu ne peux pas étendre ça à $200…$ qui n’est plus l’écriture d’un nombre.

Rien à voir avec « mais si mais si c’est comme $i^2=-1$ ou encore "les règles de la division" » qui d’ailleurs sont valables … pour des nombres !

Pour l'instant, je lui accorde le bénéfice du doute. Je ne sais pas encore si c'est quelqu'un qui essaie de faire des maths mais s'y prend mal, ou si c'est encore un cinglé qui croit qu'on peut manipuler les objets mathématiques n'importe comment et "tant que ça me plait, c'est des maths". D'expérience, dans Shtam on sait déjà quoi conclure, mais pour l'instant, allez, allons-y tranquillement.

octobre : première question, sais-tu justifier "proprement" que $0,999...=1$ avec une série géométrique ?

Ensuite : je t'ai déjà dit que l'on n'écrit pas $\dfrac{0,1010...}{0,999...}$. Il y a des raisons à ça, mais écrivons-le quand même pour l'instant.

Il est vrai que $\dfrac{0,1010...}{0,999...} = \dfrac{1,0101...}{9,999...} = \dfrac{10,1010...}{99,999...}$ parce qu'à chaque fois, on multiplie par $1$ : sous la forme $\dfrac{10}{10}$, $\dfrac{100}{100}$, etc. Mais attention, on n'a le droit de faire ça uniquement parce que $\dfrac{0,1010...}{0,999...}$ est un nombre (égal à $\dfrac{10}{99}$), et que "multiplier par $1$" est une opération définie pour ce nombre.

Donc si tu écris $\dfrac{0,1010...}{0,999...} = \dfrac{101010...}{999999...}$, il faut que tu expliques ce qui t'autorise à écrire cette égalité : quelle opération fais-tu sur $\dfrac{0,1010...}{0,999...}$ pour aboutir à $ \dfrac{101010...}{999999...}$ ? Nous-ce qu'on te dit, c'est qu'on a besoin de savoir qui sont $101010...$ et $999...$ avant même de nous intéresser à l'opération qui donne l'égalité. Mais visiblement, tu veux utiliser cette opération mystère pour définir $101010...$ et $999...$, c'est le serpent qui se mord la queue !

Pour en revenir à ce que je disais, comme $\dfrac{0,1010...}{0,999...} = \dfrac{10}{99}$, on sait que $\dfrac{0,1010...}{0,999...}$ est un élément de $\Q$. S'il est vrai que $\dfrac{0,1010...}{0,999...} = \dfrac{101010...}{999999...}$, alors il faut que $\dfrac{101010...}{999999...} = \dfrac{10}{99}$, donc il faut que $\dfrac{101010...}{999999...}$ soit un élément de $\Q$. Mais pour ça, il faut que $101010...$ et $999999...$ soient des nombres entiers, ce qui est impossible puisqu'ils n'ont pas un nombre fini de chiffres.

@HT : Je suis presque entièrement d'accord avec ce que tu dis, sauf le passage sur $\mathbb Q$ : $\frac{\pi}{2\pi} \in \mathbb Q$ pourtant ni $\pi$ ni $2\pi$ n'est entier.

Un carré négatif n'est pas "impossible", il est impossible dans l'ensemble des nombres réels. Dans l'ensemble des nombres complexes, ça existe, et ça obéit à des règles précises qu'on ne définit pas, mais qui s'imposent par elles-mêmes pour être cohérentes avec le reste des mathématiques.

Donc j'aimerais savoir comment tu justifies $\dfrac{0,111111...}{0,999999...} = \dfrac{1}{9}$.