Corps local d'un produit

noradan · October 2021

Bonjour
je viens de lire une démonstration concernant les corps locaux où l'auteur semble utiliser une propriété que je ne trouve nulle part (c'est au millieu d'une succession d'isomorphismes)
$K,K'$ cont des corps de nombres, $K''=KK'$ le corps composé; $\frak{p}$ un idéal premier de $K$ et $\frak{P}$ un idéal premier de $K''$ au dessus de $\frak{p}$.

Existe-t-il un lien entre $\Bbb{K}''_{\frak{P}}$ et $\Bbb{K}_{\frak{p}}$; (l'auteur a l'air d'utiliser qu'ils sont égaux)
Je note bien sûr $\Bbb K$ le corps local de valuation discrète complet.

Merci

Poirot · October 2021

Aucune raison qu'ils soient égaux. $K''_{\mathfrak P}$ est naturellement une extension de $K_{\mathfrak p}$, de degré au plus $[K'' : K]$. Dans le cas où $K''/K$ est galoisienne, $K''_{\mathfrak P}/K_{\mathfrak p}$ aussi, et son groupe de Galois s'identifie au sous-groupe de décomposition de $\mathfrak p$ dans $K$ : $D(\mathfrak P/\mathfrak p) = \{\sigma \in \mathrm{Gal}(K''/K) \mid \sigma(\mathfrak p) \subset \mathfrak p\}$, et ce dernier a pour cardinal $e(\mathfrak P/\mathfrak p) \times f(\mathfrak P/\mathfrak p)$, où $e(\mathfrak P/\mathfrak p)$ est le degré de ramification de $\mathfrak p$ dans $\mathfrak P$, et $f(\mathfrak P/\mathfrak p)$ est le degré résiduel $[\mathcal O_{K''}/\mathfrak P : \mathcal O_K/\mathfrak p]$.

noradan · October 2021

Nous sommes d'accord ! Mais moi et les corps locaux ....:-S
La situation est la suivante: Pour faire court
Il s'agit de la preuve du fait que si l'on a une extension de corps locaux $\Bbb L/\Bbb K$ et qu'on les écrit comme localisé complet de deux extensions galoisiennes en des places $\frak P_i$ pour $\Bbb L$ et $\frak{p_i}$ pour $\Bbb K$ alors les applications de "normes résiduelles" sont égales $\theta_{\frak p_1}=\theta_{\frak p_2}$. (pas sûr de la terminologie car sur wiki le symbole de norme résiduelle n'a aucun rapport apparent avec ça)
Chez moi $\theta_{\frak p}$ va de $\Bbb{K}^*_{\frak p}$ dans $Z(\frak{p})$ en passant par un $K$-module admissible et une application d'Artin.
Pour prouver cela on écrit 3 losanges commutatifs entre $K_i$, $L_i$ avec au millieu $K_1K_2$ et en haut $L_1L_2$ puis on utilise un résultat dit de "naturalité" disant (pour être bref parce que c'est pénible à écrire) $\theta_{\frak p}\circ N=R\circ \theta_{\frak P}$
et que l'on applique aux extension de $K_1$, $L_1$ d'une part et $K_1K_2$ de l'autre et là l'auteur écrit
$N_{\Bbb K/\Bbb K}$ alors que l'application du résultat de naturalité devrait donner $(K_1K_2)_{\frak p}/\Bbb K_{1\frak p_1}$ (ici $\frak p$ est au dessus de $\frak p_1$).
Si par hypothèse $\Bbb K=\Bbb K_{1\frak p_1}$ je ne vois pas pourquoi le "numérateur" serait aussi $\Bbb K$ et du coup N=id.
Je sais... c'est assez fumeux mais j'espère que le lecteur spécialiste des corps de classes et des corps locaux comprendra ce que je veux dire

Poirot · October 2021

Désolé je n'ai pas compris grand-chose...

noradan · October 2021

Désolé de revenir si tard mais je n'ai pas eu le temps de refaire des corps locaux.
J'avais oublié qu'on pouvait joindre un fichier

j'ai extrait les pages en question en rayant ce qui n'était pas le problème.
J'ai surligné le fameux N_K/K qui me pose problème
J'espère que tout y est
C'est vrai que c'est quand même infiniment plus facile
J'ai d'ailleurs eu un nouveau problème avec le Théorème 14-13. La démonstration semble considérer comme évidente un résultat qui dirait que si x et dans une n-extension kummérienne maximale de K alors $ x^n\in K$ et je ne vois absolument pas le rapport avec la référence 14-10

Merci d'avance

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