Formule de la somme des $k^n$
dans Analyse
Bonjour à tous !
Récemment, j'ai eu une idée de formule.
En classe préparatoire il y a quelques années de là, on m'avait appris à obtenir la formule de la somme des kn en calculant d'abord toutes les autres formules des sommes de kp pour p entre 1 et n-1, ceci avec la technique de somme télescopique.
Mais je me suis rendu compte que je pouvais trouver cette formule sans passer par les précédentes. Voici mon raisonnement.
Soient n et m, deux entiers naturels non nuls (m a le droit d'être nul, c'est la raison pour laquelle on commence la somme à 0 dans ce qui suit). Posons :
fn(m) = somme pour k allant de 0 à m des kn
PROPOSITION. Pour chaque n entier naturel non nul, fn est un polynôme de degré n+1 évalué en les entiers naturels.
DÉMONSTRATION. Par récurrence sur n.
Soit m entier naturel.
Il nous suffit de prélever les n+2 premières valeurs de fn pour obtenir la formule de la somme pour k allant de 0 à m des kn !
Seul problème : bien que moins lourd en calcul que la façon télescopique de voir les choses, les calculs sont encore très denses ! Mais le hic, c'est que le résultat est une fraction simple ! J'imagine que les sommes alternées des fractions puissances sur factorielles forment une identité que je ne connais pas... (fournies par la valeur des coefficients du polynôme de Lagrange associé)
QUESTIONS.
- Y a-t-il en réalité une formule connue des mathématiciens pour calculer cette somme ? Auquel cas je serais en train de réinventer la roue ?
- Y a-t-il moyen de simplifier ces interminables sommes alternées des fractions puissances / factorielles ?
Je vous remercie par avance :-)
Récemment, j'ai eu une idée de formule.
En classe préparatoire il y a quelques années de là, on m'avait appris à obtenir la formule de la somme des kn en calculant d'abord toutes les autres formules des sommes de kp pour p entre 1 et n-1, ceci avec la technique de somme télescopique.
Mais je me suis rendu compte que je pouvais trouver cette formule sans passer par les précédentes. Voici mon raisonnement.
Soient n et m, deux entiers naturels non nuls (m a le droit d'être nul, c'est la raison pour laquelle on commence la somme à 0 dans ce qui suit). Posons :
fn(m) = somme pour k allant de 0 à m des kn
PROPOSITION. Pour chaque n entier naturel non nul, fn est un polynôme de degré n+1 évalué en les entiers naturels.
DÉMONSTRATION. Par récurrence sur n.
Soit m entier naturel.
- n = 1, on connaît la formule : f1(m) = m(m+1)/2
La version continue est : P1 = X(X+1)/2 qui est un polynôme de degré 2 = 1(n)+1. - n plus grand que 1 quelconque
On suppose que fp est un polynôme de degré p+1 évalué en les entiers pour chaque p entre 1 et n.
(k+1)n+2 - kn+2 = somme pour l allant de 0 à n+1 des l parmi n+2 multiplié par kl
De cette somme, on ne retient que le terme en kn+1
vous connaissez probablement la suite : on somme. À gauche, somme télescopique (de 0 à m), on obtient un monôme de degré n+2, à droite une flopée de sommes qui par l'hypothèse de récurrence (forte) sont des polynômes dont le degré n'excède pas n+1, et enfin, (n+2) * fn+1(m). On réarrange tous ça, ce qui fournit la différence d'un monôme de degré n+2 avec un polynôme de degré au plus n+1 divisé par n+2 (l'entier) : un polynôme de degré n+2.
Ce qui prouve la proposition.
Il nous suffit de prélever les n+2 premières valeurs de fn pour obtenir la formule de la somme pour k allant de 0 à m des kn !
Seul problème : bien que moins lourd en calcul que la façon télescopique de voir les choses, les calculs sont encore très denses ! Mais le hic, c'est que le résultat est une fraction simple ! J'imagine que les sommes alternées des fractions puissances sur factorielles forment une identité que je ne connais pas... (fournies par la valeur des coefficients du polynôme de Lagrange associé)
QUESTIONS.
- Y a-t-il en réalité une formule connue des mathématiciens pour calculer cette somme ? Auquel cas je serais en train de réinventer la roue ?
- Y a-t-il moyen de simplifier ces interminables sommes alternées des fractions puissances / factorielles ?
Je vous remercie par avance :-)
Réponses
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Jette un coup d'oeil aux polynômes de Bernoulli.
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Bonjour Manda,
Effectivement, c'était bien ce que je recherchais ! La formule de Faulbaher.
Plus qu'à faire des algorithmes (non récursifs si possible... ) pour calculer ces nombres de Bernoulli :-D
Merci encore pour cet aiguillage :)o
Bonne journée :-) -
Johann Faulhaber (1580-1635) , l'arithméticien le plus ingénieux d'Ulm, a le droit au respect de son patronyme.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
ev a écrit:Johann Faulhaber (1580-1635) , l'arithméticien le plus ingénieux d'Ulm, a le droit au respect de son patronyme.
Merci de la correction, cependant je ne faisais que répéter ce qu'il y avait sur ce cours que j'ai trouvé (pj)
(meilleure signature de tous les temps d'ailleurs) -
Bonsoir
cette formule de Faulbaher est trop lourde, il vaut mieux passer par le fonction de Bernoulli
avec x variable réelle positive et n entier naturel :
$B_n(x) = 1 + 2^x + 3^x +...........+ n^x$
elle fournit les coefficients de son propre développement factoriel en x soit :
$B_{n+1}(x) = 1 + B_n(0) + xB_n(1) + \frac{x(x-1)}{2!}B_n(2) + \frac{x(x-1)(x-2)}{3!}B_n(3) + ................+ \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)......(x-k+1)}{k!}B_n(k) +....$
si x = p entier naturel alors nous obtenons une relation de récurrence entre les sommes paramétrées (le développement est purement algébrique) :
$B_{n+1}(p) = n +1 + pB_n(1) + \dbinom{p}{2}B_n(2) + \dbinom{p}{3}B_n(3) + ..........+ \dbinom{p}{p-1}B_n(p-1) + \dbinom{p}{p}B_n(p)$
je signale que les images des entiers par la fonction de Bernoulli peuvent être obtenues par une fonction génératrice :
$\frac{e^t(e^{nt} - 1)}{e^t - 1} = 1 + \frac{t}{1!}B_n(1) + \frac{t^2}{2!}B_n(2) +............+ \frac{t^p}{p!}B_n(p) +..........$
il s'agit bien d'un développement analytique et $B_n(p)$ apparaît comme le nombre-dérivé d'ordre p de cette fonction pour t = 0
Cordialement -
Bonjour jean,
merci pour ce retour !
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Bonjour!
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