Produit et exponentielle

Niser
Niser
dans Analyse
Bonjour,
Soit $k,n\in\N$, j'aimerais calculeren fonction de $k$ et de $n$
$$
\prod_{j=0,\ j\neq k}^{n-1}\Big(\mathscr{exp}\big(i\frac{2k\pi}{n}\big)-\mathscr{exp}\big(i\frac{2j\pi}{n}\big)\Big).

$$ Merci d'avance !

Réponses

  • psychcorse
    psychcorse
    Commence par décomposer $X^n-1$ avec des $X-e^{i \frac{ 2 j\pi}{n}}$ et essaye d'isoler le terme $\prod_{j=0, j\neq k}^{n-1} (X-e^{i \frac{ 2 j\pi}{n}})$. Puis ``en quelque sorte'' il faut faire $X=e^{i \frac{ 2 k\pi}{n}}$ mais de façon rigoureuse.
  • Niser
    Niser
    Quand vous dîtes, "il faut faire $X=\mathscr{exp}(i\frac{2k\pi}{n})$, mais d'une façon rigoureuse" c'est-à-dire que je suis censé prendre la limite quand $X$ tend vers $\mathscr{exp}(i\frac{2k\pi}{n})$ et comme $X\mapsto X^n$ est holomorphe dans $\C$ alors le produit ci-dessus est égale à $nX^{n-1}_{|X=\mathscr{exp}(i\frac{2k\pi}{n})} =n\ \mathscr{exp}(i\frac{2k\pi(n-1)}{n})$ ?
  • psychcorse
    psychcorse
    Oui, il faut faire une limite.
  • Niser
    Niser
    D'accord. Merci !
  • Chaurien
    Chaurien
    On peut s'en tirer sans holomorphie et sans limite, en raisonnant sur les polynômes formels.
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    @Niser si on pose $x_k=exp(i 2k\pi/n),k=0,...,n-1,$

    je crois que tu as compris que les $x_k$ sont les racines n-ièmes de l'unité et que la réponse c'est :

    $\lim_{x\rightarrow x_k}\dfrac{x^n-1}{x-x_k}$

    ou encore


    $\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(x_k+h)^n-1}{h}.$

    Mais $(x_k+h)^n=x_k^n+n h x_k^{n-1}...$ blabla je te laisse finir.
     
  • Niser
    Niser
    Et donc la réponse ce n'est pas $n x_k^{n-1}$ comme j'ai écrit plus haut ?

    (Edit : Ah, je pensais que j'avais écrit quelque chose de faux en haut, alors que vous êtes juste en train de me montrer qu'on peut s'en sortir sans utiliser des fonctions holomorphes. Merci ^^)
  • Chaurien
    Chaurien
    Je répète. Soit $\displaystyle Q_{k}(X)=\underset{0\leq h\leq n-1,h\neq k}{\prod }(X-e^{\frac{%
    2hi\pi }{n}})$, en sorte que : $X^{n}-1=(X-e^{\frac{2ki\pi }{n}})Q_{k}(X)$.
    Par dérivation formelle : $nX^{n-1}=Q_{k}(X)+(X-e^{\frac{2ki\pi }{n}})Q_{k}^{\prime }(X)$.
    En faisant $X:=e^{\frac{2ki\pi }{n}}$, il vient : $n(e^{\frac{2ki\pi }{n}})^{n-1}=Q_{k}(e^{\frac{2ki\pi }{n}})$, soit :
    $\displaystyle ne^{\frac{2(n-1)ki\pi }{n}}=\underset{0\leq h\leq n-1,h\neq k}{\prod }(e^{%
    \frac{2ki\pi }{n}}-e^{\frac{2hi\pi }{n}})$. Etc.
  • Niser
    Niser
    Merci !
  • Chaurien
    Chaurien
    Nous pouvons donc avoir : $\displaystyle A_{n}=\underset{0\leq h\leq n-1,0\leq k\leq n-1,h\neq k}{\prod }(e^{\frac{%
    2ki\pi }{n}}-e^{\frac{2hi\pi }{n}})$.
    Plus intéressant est $\displaystyle B_{n}=\underset{0\leq h<k\leq n-1}{\prod }(e^{\frac{2ki\pi }{n}}-e^{\frac{%
    2hi\pi }{n}})$, qu'on déduit de $A_{n}$ au signe près. Mais quel est donc ce signe ?
  • Niser
    Niser
    $(-1)^{n(n-1)/2}$?
  • jandri
    jandri
    On a bien $A_n=(-1)^{n(n-1)/2}B_n^2$ mais cela ne donne pas exactement $B_n$.

    On peut en déduire le nombre complexe $B_n$ en calculant son argument.
  • Chaurien
    Chaurien
    Avant de continuer, il conviendrait de se mettre d'accord sur la valeur de
    $$ A_{n}=\prod_{\substack{0\leq h\leq n-1\\0\leq k\leq n-1\\h\neq k}}\big(e^{\frac{2ki\pi }{n}}-e^{\frac{2hi\pi }{n}}\big).
    $$ J'ai un doute.
  • jandri
    jandri
    J'ai trouvé $A_n=(-1)^{n-1}n^n$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Merci AD pour ce joli $\displaystyle A_{n}=\prod_{\substack{0\leq h\leq n-1\\0\leq k\leq n-1\\h\neq k}}\big(e^{\frac{2ki\pi }{n}}-e^{\frac{2hi\pi }{n}}\big)$. D'accord avec Jandri.
    En effet, on a vu que : $\displaystyle ne^{\frac{2(n-1)ki\pi }{n}}=\underset{0\leq h\leq n-1,h\neq k}{\prod }(e^{%
    \frac{2ki\pi }{n}}-e^{\frac{2hi\pi }{n}})$.
    En conséquence : $ \displaystyle A_{n}=\underset{0\leq k\leq n-1}{\prod }(ne^{%
    \frac{2(n-1)ki\pi }{n}})=n^{n}e^{\frac{2(n-1)i\pi }{n}(0+1+...+(n-1))}=n^{n}e^{(n-1)^{2}i\pi
    }=n^{n}(-1)^{(n-1)^{2}}=(-1)^{n-1}n^{n}$.

    Maintenant, il faut déterminer $\displaystyle B_{n}=\underset{0\leq h<k\leq n-1}{\prod }(e^{\frac{2ki\pi }{n}}-e^{\frac{%
    2hi\pi }{n}})$.
    C'est le déterminant de Vandermonde des racines $n$-èmes de l'unité. Je trouve $ B_{n}=n^{\frac{n}{2}}i^{\frac{(n-1)(3n-2)}{2}}$.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Remarquons que $|B_n|$ est le produit des distances mutuelles des racines $n$-èmes de l'unité, qui est donc $P_n=n^{\frac n2}$. La moyenne géométrique de ces distances mutuelles est donc ${P_n}^{\frac 2{n(n-1)}}=n^{\frac 1{n-1}}$, suite décroissante de limite $1$.
  • jandri
    jandri
    Je suis d'accord avec Chaurien.

    Le déterminant $B_n$ se calcule classiquement en deux étapes :

    calcul de son module en utilisant le fait que le produit de la matrice de Vandermonde des racines $n$-èmes de l'unité par sa matrice conjuguée est égal à $nI_n$

    calcul d'un argument en simplifiant $\displaystyle\sum_{0\leq h< k\leq n-1}\big((h+k)\frac{\pi }n+\frac{\pi }2\big)$.
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