Produit vide

Bourbaki, c'est bien mais c'est pas bien. Ils essaient de tout construire, et ça c'est bien, mais ils le font d'une façon vraiment lourde et pompeuse (je trouve), et ça c'est moins bien.

Je veux qu'on ait des définitions précises, mais du coup, il faut bien se demander : on prend laquelle ? Evidemment qu'il y a parfois plusieurs définitions qui se valent, il suffit qu'à la fin les résultats soient les mêmes, donc c'est un choix personnel de chaque enseignant (bon, dans un monde idéal, en tout cas : dans la réalité du pré-bac c'est le programme qui décide de "la bonne définition"). Pour moi, la meilleure définition est celle qui laisse le moins de doute à l'apprenant. Moins il y a de points obscurs, mieux c'est.

Je pense aussi que "changer de définition" n'est pas vraiment une bonne chose. On parlait l'autre fois de la définition de la fonction exponentielle, il y a en trois principales (réciproque du logarithme, $y'=y$, série entière). Certains argumentaient qu'ils préféraient prendre la définition "série entière" parce qu'elle permet de définir l'exponentielle de plein d'objets d'un coup (réels, complexes, matrices...). Auquel cas il faut d'abord apprendre une autre définition (parce qu'on découvre $\exp$ au lycée, avant de voir les séries entières), puis "oublier et remplacer" cette définition par l'autre. Je trouve ça sans intérêt : on peut juste montrer le théorème que $\exp$ est développable en série entière et s'en servir pour étendre la définition à d'autres objets sans dire "on remplace la définition de la fonction exponentielle réelle" (le changement de définition ne change rien à ses propriétés, juste à comment on les démontrerait).

Le truc avec ce genre de définitions, c'est qu'elles sont "à effet rétroactif de simplification". Oui, si l'on définit que $n^m$ c'est le cardinal d'un ensemble d'applications d'un ensemble à $m$ éléments vers un ensemble à $n$ éléments, on écarte le problème de $n^m$, mais dans ce cas il est malhonnête de parler de puissances avant la L1. Du coup, on introduit $n^m$ de manière naturelle, à des gens qui connaissent moins de maths, en disant que c'est $n \times \dots \times n$ ($m$ fois) mais dans ce cas, il est aussi naturel que ces mêmes gens se posent la question de $n^0$ : pourquoi ne me l'a-t-on pas défini, est-ce que c'est définissable, qu'est-ce que ça peut valoir, est-ce que c'est un choix arbitraire (donc une définition posée "comme ça parce que ça nous arrange") ou un résultat qui se démontre, quid du cas $n=0$ si on étend déjà les définitions... d'ailleurs, personne n'a rebondi sur Médiat qui a écrit $\displaystyle \lim_{x \to 0}0^x = 0$*

Je trouve aussi mieux de définir que $n! = |\mathfrak{S}_n|$ et de calculer sa valeur par récurrence, je trouve ça plus propre. On a une définition unique, et le reste c'est des théorèmes : on prouve que $0!$ $1!$ sont définis et qu'ils valent $1$, puis que $n!$ est le produit des entiers de $1$ à $n$ pour $n \geqslant 2$. C'est plus "propre" à mon sens que de faire l'inverse, définir $n!$ par $0!=1$ puis $n!=(n-1)! \times n$ parce que ici, $0!=1$ sort un peu de nulle part, on peut penser qu'il a été choisi arbitrairement (ce qui n'est pas le cas dans "ma version"), et du coup l'élève curieux se demande pourquoi et veut une réponse satisfaisante (d'autant plus que "le produit des entiers $1$ jusqu'à $n$" ne fonctionne pas trop avec $0$). La suite, c'est de la philo : à mon sens, on donne un nom aux objets importants (c'est pour ça que $\pi$, $e$, $i$, $\ln$, $\zeta$ ont des noms précis et d'autres objets n'en ont pas, comme la plus grande racine du polynôme $x^7-2x^2+3$) et après on leur donne une valeur. D'autres préfèreront faire autrement pour d'autres raisons, et dans le cas précis de la factorielle, je me réserve le droit de trouver ma façon de faire meilleure et plus pédagogique :-D.

*Médiat : Je ne rejette pas pour autant ce que tu racontes. On risque de finir hors-sujet ici mais si tu peux me donner une "justification" de ce calcul de limite, dans ou hors ZFC, raconte-moi ça en message privé si tu veux bien :-). Dans ZFC en tout cas, je ne peux pas accepter ce calcul puisque $0^x$ n'existe jamais... $\ln(0)$ connais pas !

Dom a écrit:

La caricature dans un sens : ne plus rien faire de formel.
La caricature dans l’autre sens : définir $x\mapsto x!$ avec la fonction $\Gamma$.

Donc tu as l'air d'être relativement d'accord avec moi. Je trouve que ce fil fait un peu dialogue de sourds par moments :-D alors extraire un minimum de consensus entre participants, ça fait du bien.

Trouver un juste milieu est toujours ce qu'il y a de mieux à faire. "Le formel" est fondamentalement nécessaire en maths, donc il faut s'y frotter tôt ou tard. Ce n'est pas pour autant que la globalité des enfants peut faire comme les étudiants de maths dans le supérieur et juste "accepter" un truc hyper formel comme base de travail. D'ailleurs, beaucoup d'étudiants de première année ont du mal avec ces choses-là avant d'en prendre l'habitude : j'en connais plus d'un qui a mis du temps à avaler la définition en 8 axiomes d'un espace vectoriel sur un corps, qui vient littéralement juste après la définition en je-ne-sais-plus-combien d'axiomes d'un corps. C'est quelque chose qui devient naturel avec le temps, on en prend l'habitude, mais c'est toujours utile d'avoir un concept "issu du monde réel" qui illustre le truc au début. D'où l'idée de définir les choses comme la factorielle ou les puissances avec $0$ de façon "naturelle" : après, il reste à choisir ce qu'on trouve "naturel", et là, différentes personnes font différents choix pour différentes raisons (mais mes choix à moi c'est les plus mieux !)

Le truc du produit vide a l'air de se faire par analyse-synthèse, au vu de ce qui a été dit : si l'on veut que le produit vide ait une valeur, et qu'elle soit unique, en rassemblant tout ce qui a été dit, il faut l'associativité et un élément neutre. Du coup, l'existence du produit vide est un "théorème-définition" qui montre que sa condition d'existence est d'être dans un monoïde, et que dans ce cas il vaut forcément l'élément neutre.

Mais ça présuppose qu'on ait défini au préalable le produit indexé par un ensemble non vide (l'objet "naturel" à définir, en somme). Le constructivisme, c'est chiant parce que c'est long et compliqué, et parfois ça l'est "pour pas grand chose", mais au moins quand on a fini on comprend tout et on n'a rien laissé au hasard.

Je pense que ça relève un peu du comportement humain. D'un côté, quand on te donne une règle, la première pulsion qu'on a c'est de vouloir l'enfreindre. Indexé par un ensemble non vide ? Mais je connais un ensemble vide moi, ça donnerait quoi si on le met dans la formule ? D'un autre côté, on a juste une curiosité "non morbide" plus scientifique : étudions tous les cas possibles, on ne sait jamais si ça va servir. Il y a des tas de maths qui n'ont/n'avaient pas (encore) d'application concrète au moment d'être développées, elles ont été développées "parce qu'on pouvait" et parce que quelqu'un avait choisi de s'y intéresser. Alors quand on définit le produit indexé, on réfléchit à tous les cas possibles, et l'indexation par $\varnothing$ devient une question naturelle quand on s'y prend comme ça. C'est du "complétionnisme" mathématique, en gros.

Je sais que tu es d'un naturel à chercher la petite bête gerard0 mais je ne comprends pas exactement ce que tu veux dire.

Si l'on laisse un peu sa mauvaise foi de côté, on comprend même sans virgules.