Fonction non continue

C’est pas plutôt $\lim f(x)/x$ différent de zéro que tu veux? Dans ce cas précise ta question stp, tu veux une limite non nulle de $f(x)/x$ qui donc va exister, ou bien tu veux que la limite n’existe pas?

Tu pourrais utiliser la fonction $x\mapsto \tan\left((2x-1)\dfrac{\pi}{2}\right)$ pour construire ton exemple.

Bonsoir,

Je pose une question un peu bête, dans l'espoir de mieux comprendre :

Soit $f:\R_+\to\R$ continue.
On suppose $\lim\limits_{x\to+\infty} \big[f(x+1) - f(x)\big] = 0$.

A-t-on forcément : $\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\qquad$ ?

$\bullet $ Soit une fonction $f: \mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R$, bornée sur tout segment, et telle que $\lim_{x \rightarrow + \infty}(f(x+1)-f(x))=0$.
$\bullet $ Soit un réel $\varepsilon >0$. Il existe un réel $A>0$ tel que $x\geq A$ implique : $\left\vert f(x+1)-f(x)\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{2}$.
Soit $K$ tel que $x\in \lbrack A,A+1]$ implique : $%
\left\vert f(x)\right\vert \leq K$.
Soit $x\geq A$ et $n=\left\lfloor
x-A\right\rfloor $, en sorte que : $n\in \mathbb{N}$ et : $n\leq x-A<n+1$, d'où : $A\leq x-n<A+1$.
On a : $\left\vert f(x-n)\right\vert \leq K$, $%
\left\vert f(x-n+1)-f(x-n)\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{2}$,..., $%
\left\vert f(x)-f(x-1)\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{2}$, d'où par sommation :
$\left\vert f(x)\right\vert \leq K+n\frac{\varepsilon }{2}\leq K+(x-A)\frac{%
\varepsilon }{2}\leq K+x\frac{\varepsilon }{2}$.
En conséquence, pour $%
x\geq A$, on a : $\left\vert \frac{f(x)}{x}\right\vert =\frac{\left\vert
f(x)\right\vert }{x}\leq \frac{K}{x}+\frac{\varepsilon }{2}$.
Soit $B=\max(A,\frac{2K}{\varepsilon })$. Alors, pour $x\geq B$, on a : $x\geq A$ et $%
\frac{K}{x}\leq \frac{\varepsilon }{2}$, ce qui implique : $\left\vert \frac{f(x)}{x%
}\right\vert \leq \varepsilon $.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Est-ce que ça ressemble un peu au lemme de Cesàro ?

Si je ne me trompe, les résultats précédents restent valables pour une fonction $f$ à valeurs complexes, avec la même démonstration, sauf que $\ell \in \mathbb C$.
De plus, si $f: \mathbb R_+\rightarrow \mathbb R$ est bornée sur tout segment, et si $\lim_{x \rightarrow + \infty}(f(x+1)-f(x))=+ \infty$, alors $ \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {f(x)}x=+\infty$.

@marsup : Oui, c’est un analogue pour les fonctions du lemme de Cesaro pour les suites.

Insinues-tu que je me suis embêté avec mon $2x-1$? (:P)