Théorème de Cesàro et les fonctions

zaze
zaze
dans Analyse
Bonjour
je veux montrer que la réciproque de l'implication suivante est fausse (j'ai perdu beaucoup de temps pour trouver un contre exemple).

Soit $f:[0;\infty[\,\to \R$ une fonction cpm continue par morceaux.
On peut montrer que
$$\lim_{x \to \infty}f(x)=+\infty\quad \Longrightarrow\quad \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t=+\infty.
$$ Merci d'avance.

Réponses

  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    On peut imaginer une fonction qui vaut 0 puis 1 successivement, en changeant à chaque intervalle de longueur 1.
  • psychcorse
    psychcorse
    Non ça marche pas car la fonction est inférieure à 1 donc sa moyenne n’explose pas. Par contre on peut dire la fonction qui vaut x puis zéro à chaque intervalle de longueur 1.
  • math2
    math2
    L'exemple de RLC ne fonctionne clairement pas, en revanche il n'y a pas grand chose à faire pour le rendre correct : $f$ nulle sur chaque $[2k,2k+1[$ puis valant une constante $a_k>0$ sur $[2k+1,2k+2[$ ; avec des constantes bien choisies, ça va fonctionner.

    EDIT : doublé par pchycorse :-)
  • math2
    math2
    En fait l'exemple de RLC ne fonctionne pas car la fonction est bornée donc sa moyenne sur $\R^+$ (définie par la limite proposée ici, si existence de la limite) ne peut être infinie, et de surcroît sa fonction étant périodique sa moyenne sur $\R^+$ coïncide avec sa moyenne sur une période.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    C'est curieux, j'avais édité pour remplacer mon 1 par un x.
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