Idéaux $\omega_2$ saturés

Martial · October 2021

Salut à tous,

On parle beaucoup, dans la littérature, de théorèmes du genre : "s'il existe un cardinal blablabla, alors il existe sur $\omega_1$ un idéal $\omega_2$-saturé".

Quelqu'un peut-il m'expliquer ce qu'est exactement un idéal $\omega_2$-saturé ? Si de plus le même quelqu'un pouvait éviter d'employer l'expression "algèbre de Boole", je lui en saurais un plein pot de gré.

Je suis aussi preneur d'une référence où ces questions sont étudiées. (Pas le Jech, il mange des algèbres de Boole dès le p'tit dej).

Merci d'avance

Martial

Poirot · October 2021

J'ai trouvé une définition au début de ce papier de Laver. $\omega_2$-saturé voulant dire $(\omega_2, 2, 2)$-saturé au sens de la grosse définition donnée.

Poirot · October 2021

Donc si je fais l'effort de traduire, un idéal sur $\omega_1$ est $\omega_2$ saturé lorsque pour toute famille $\{A_{\alpha} \mid \alpha < \omega_2\}$ de parties de $\omega_1$ qui ne sont pas dans l'idéal, il existe au moins une paire $\{A_{\alpha}, A_{\beta}\}$ avec $\alpha \neq \beta$ telle que $A_{\alpha} \cap A_{\beta}$ n'est pas dans l'idéal.

C'est en accord avec ce qui est dit dans cette question Math Stack Exchange.

Martial · October 2021

Merci Poirot

Martial · October 2021

En fait Boban en a glissé un mot dans le cours sur les grands cardinaux, mais seulement à propos de l'idéal $INS$ (l'ensemble des parties non stationnaires de $\omega_1$). Selon sa définition, $INS$ est $\aleph_2$-saturé si tout stationnaire de $\omega_1$ peut s'écrire comme une réunion de $\aleph_2$ stationnaires "deux à deux presque disjoints", c'est-à-dire que l'intersection de deux stationnaires de la famille est non stationnaire.

Quelqu'un sait-il si cette définition est équivalente à celle donnée ci-dessus par Poirot ?

Idéaux $\omega_2$ saturés

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