Sous-variétés et espace tangent
Bonjour
J'espère que vous allez bien.
Voilà, j'ai un exercice que je ne comprends pas bien. C'est l'exercice 2 sur la photo. J'aimerais avoir des indices pour la question 1. Je connais la définition d'un atlas. Mais, là où je bloque c'est de montrer que les applications changements de cartes sont des C infini difféomorphismes.
Vraiment aidez moi à comprendre.
Merci d'avance pour vos réponses.
[Préférer "Joindre un fichier" à donner un pointeur sur le net qui disparaîtra tôt ou tard. :-) AD]
J'espère que vous allez bien.
Voilà, j'ai un exercice que je ne comprends pas bien. C'est l'exercice 2 sur la photo. J'aimerais avoir des indices pour la question 1. Je connais la définition d'un atlas. Mais, là où je bloque c'est de montrer que les applications changements de cartes sont des C infini difféomorphismes.
Vraiment aidez moi à comprendre.
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Réponses
La moindre des choses serait déjà de montrer que $\phi_1$ et $\phi_2$ sont des homéomorphismes sur leurs images respectives !
Amicalement
pappus
Je vois que cela ne vole pas beaucoup plus haut sur ce nouveau forum de géométrie différentielle que sur celui de géométrie!
Sur ce dernier, on ne va guère beaucoup plus loin en général que les axiomes de Thalès et de Pythagore et sur ce nouveau j'espère qu'on va quand même dépasser rapidement les trivialités sur la définition des variétés!
Je ne sais pas qui a donné cet exercice mais il est clair qu'il a voulu faire répéter à ses étudiants sur cet ellipsoïde, la démonstration de la structure de variété de la sphère de Riemann.
Le premier travail est donc de découvrir la méthode géométrique avec laquelle les écritures des homéomorphismes $\phi_1$ et $\phi_2$ ont été obtenues!
Hint: penser aux deux projections stéréographiques à partir des pôles Nord et Sud.
Il n'y a pas besoin d'avoir fait beaucoup de géométrie pour voir que ce sont les points $A$ et $B$ qui vont jouer ce rôle!
Mais sur quelle bestiole l'auteur de cet exercice fait-il sa projection?
Amicalement
pappus
L'essentiel n'est pas de voler haut, mais d'apprendre à piloter. Il est alors intéressant de voir ce qui est généralisable, et ce qui ne l'est pas.
Pour commencer, on peut en effet se ramener à la sphère, l'introduction d'un ellipsoïde ne changeant rien au coeur de la chose.
Engel 10 doit sans doute être satisfait des calculs de Pierre car il ne donne plus de ses nouvelles.
Quant à moi, j'avoue ne pas les avoir compris dès la première ligne!
Ce que j'aurais voulu savoir, c'est la méthode géométrique simple utilisée par l'auteur de cet énoncé pour donner les écritures des cartes $\phi_1$ et $\phi_2$!
Amicalement
pappus
J'ai ramené cet ellipsoïde à la sphère unité, ayant estimé que "ellipsoïde= fanfreluche inutile". Après coup, j'ai remarqué... que tu avais fait la même remarque.
La deuxième étape de mes calculs consiste à poser: \[ \left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \dfrac{1}{2}\,\dfrac{X}{1-Z}\\ \dfrac{Y}{1-Z}+1\\ \dfrac{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1}{1-Z} \end{array}\right) \]
Dans cette affaire, $a=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{X}{1-Z}$ c'est pas moi, c'est pas ma faute, c'est juste la question posée.
De même, $b=\dfrac{Y}{1-Z}+1$ c'est pas moi, c'est pas ma faute, c'est juste la question posée.
Par contre, $c= \dfrac{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1}{1-Z}$, cela c'est moi. En effet, tant qu'à voler haut, autant disposer d'un altimètre. Et la quantité $c$ nous dit à combien sommes-nous au dessus de la sphère (pour être totalement exact, $c(c+2)$ est encore plus altimétrique que $c$ lui-même. On constate que $(X,Y,Z)\mapsto (a,b,c)$ est une belle bijection bien lisse, enfin presque partout, à l'exception d'un fermé de volume nul.
Et donc sa bijection réciproque est-elle aussi ... tout ça toussa ... et les gradients sont inverses l'un de l'autre.
Ensuite de quoi, on peut toujours ignorer l'espace ambiant, et ne conserver que la surface $c=0$.
Cordialement, Pierre.